【期末押题预测】期末核心考点 复数的三角表示（含解析）2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）

中小学教育资源及组卷应用平台 期末核心考点 复数的三角表示 一．选择题（共7小题） 1．（2024春 官渡区校级月考）已知复数z满足2i z＝1﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　） A． B． C． D．2 2．（2024秋 江苏月考）已知复数z满足，则z＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）复数z＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：2π+isin2π＝1，，复数z满足：z3＝1+i，则z可能取值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024春 田家庵区校级期中）复数的三角形式是（　　） A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60° C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120° 5．（2023春 浙江期中）任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．那么（　　） A． B． C． D． 6．（2023春 鼓楼区校级期中）复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向对应的复数为（　　） A． B． C．1 D．i 7．（2023 天河区校级开学）复数，则的辐角主值为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）8．（2024春 弥勒市校级期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（　　） A．复数为纯虚数 B．复数ei3对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆 （多选）9．（2024 凌河区校级模拟）已知复数z满足|z|＝1且i z，则z可能为（　　） A． B． C． D． （多选）10．（2024春 尚义县校级月考）任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当r＝1，时，复数z3为纯虚数 B．当r＝2，时，z3＝8 C．当r＝1，时， D． 三．填空题（共3小题） 11．（2022春 沙坪坝区校级月考）复数的三角形式是 　 　 ． 12．（2022春 闵行区校级期末）将复数化为三角形式：　 　 ． 13．（2022秋 宝山区校级月考）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则arg（a+bi）＝　 　 ．（用反三角形式书写） 四．解答题（共2小题） 14．（2024春 博望区校级期中）已知： ①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式． ②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根； （1）求证：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]； （2）设，求ω2024； （3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合． 15．（2024春 浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1． （1）若，求复数z+i的辐角主值； （2）若z≠ ... ...