第十七章《勾股定理》核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十七章《勾股定理》核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法 核心题型一 利用勾股或面积法计算 1.在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,AC=8,BC=6. (1)如图1,CD 是高,则CD= ,BD= , 为 ; (2)如图 2,D 是AB 的中点,DE⊥AB 交AC 于点 E,则CE= . (3)如图3,BD 是△ABC 的角平分线,则CD= ; (4)如图4,点 O 是△ABC 的三条角平分线的交点,则CO= 2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点O是△ABC 内一点,且OA=OB=OC,则AO= . 3.如图,在△ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13,AD,CE 是高,则AD= ,CE= . 4.如图,在△ABC中,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,则AC= . 5.如图，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到点 B，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围4海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险 请说明理由.(参考数据： 核心题型二 勾股定理与折叠 6.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm，BC=10 cm,将△ABC 折叠,使点 B 与点A 重合,折痕为 DE,则CD 的长为( ) A. cm B. cm C. cm D. cm 7.如图,在长方形 ABCD 中,E是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE折叠后得到△GBE,延长 BG 交CD 于点F,若AB=6, ,则 FD 的长是 . 8.如图，在长方形纸片ABCD 中，AB=8，将纸片折叠，使顶点 B落在边AD上的点E 处，折痕的一端点G 在边BC上，折痕的另一端F 在AD边上,且BG=10. (1)求证:EF=EG; (2)求AF 的长. 核心题型三 坐标系中的勾股定理 9.如图,A(0,4),B(2,0),C(5,1),D(2,5); (1)AD= ,AB= ,∠BAD= °; (2)点M 是y 轴上一点,AB⊥BM,求M 的坐标; (3)若点Q在x轴上，△BCQ 为等腰三角形，求点 Q 的坐标. 核心题型四 分类讨论 10.直角△ABC 的两条边的长为3和5，则第三条边的长为 11.请写出含5的一组勾股数 . 12.等腰三角形的腰长为5，面积为10，则它底边长为 . 13.三角形的两边长为13 和15，第三边上的高为12，则这个三角形第三边的长为 . 14.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，1). (1)OA 的长是 ; (2)点 P 为x轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求 P点坐标. 15.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE,把△ABE 沿AE 折叠,点 B 落在点 B'处.当△CEB'为直角三角形时，CB'的长AD= ; 核心题型五 与勾股定理相关的几个重要的结论 16.如图,在 中， 于点D，设 b 求证： 17.如图,在 中，AD 是中线，求证： 18.如图,在 中， 点 P 是直线BC 上一点. (1)当点 P 在BC 边上时,求证: (2)当P 在BC 的延长线或反向延长线上时，画出图形，判断(1)中的结论是否仍成立，若成立，请证明，若不成立，直接写出你的结论. 核心方法一 方程思想 19.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,CD⊥AC交AB 于点D,CD=BD,求CD的长. 20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,D为AB 上的点，E为AC上的点，ED 垂直平分 求 AE 的长. 核心方法二 化散为聚 类型1 利用全等和图形的特殊性质 21.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,且CA=CB. (1)如图1,若△ECD 也是等腰直角三角形,且CE=CD,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,求证: (2)如图2,E为AB 上一点,AE=1,CE=2,直接写出 BC 的长为 . 类型2 构造共顶点的等腰三角形集中条件 22.如图,在 中， 以AC 为边向外作等边 求BD 的长. 类型3 夹半角模型 23.(1)如图1,在 中， 点M,N是BC上任意两点，且 求证： (2)如图2,在 中,N 为 MC 上一点, ①求CN 的长; ②求AN 的长. 7 第十七章《勾股定理》 核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法 1.(1)4.8 3.6 6.4 (2) (3)3 (4)2 2. 3.12 4.7 5.解:过点 C作CD⊥AB 于点D,可求BC=AB=6,CD=3 >4,∴该船继续向东航行，无触礁危险. 6. D 7.4 8.解:(1)∵纸片折叠后顶点 B 落在边AD 上的E 点处,∴∠BGF=∠EGF. ∵AD∥BC, ∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF=∠EFG,∴EF=EG; (2)∵纸片折叠后顶点 B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG=BG=10 ... ...