专项突破训练二 巧用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 方法指引 解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解. 1.如图Z-2-1,长方形ABCD的边AD 沿折痕AE折叠,使点 D 落在BC 上的 F 处,已知AB=6,△ABF的面积是24,则 FC等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图Z-2-2所示，有一张直角三角形纸片，两直角边长分别为AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，则CD的长为 ( ) A. 2cm B. 3cm C.4 cm D. 5cm 3.如图Z-2-3所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点 C与点A 重合,折痕为DE,则△ABE的周长为 . 4.如图Z-2-4,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点 E 在AB 上,将△DAE 沿DE 折叠,使点 A落在对角线 BD上的点 A′处，则AE的长为 . 5.如图 Z--2--5,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿 AC折叠，点D落在点 D'处，求重叠部分△AEC 的面积. 6.如图Z-2-6，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上,点 C 在y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4.在OC 边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点 O落在BC 边上的点E 处.求D，E两点的坐标. 7.有一长方形纸片ABCD，按如图Z-2-7方式折叠,使点 B 与点D 重合,折痕为 EF. (1)求证:△DEF 是等腰三角形; (2)若AD=3,AB=9,求 BE的长. 类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题 方法指引 求立体图形中的最短路程利用的是两点之间，线段最短，需要将立体图形展开成平面图形后，把实际问题转化为可以用勾股定理进行计算的问题. 8.如图Z-2-8是一个封闭的正方体纸盒，E是CD的中点，F是CE 的中点，一只蚂蚁从一个顶点 A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是 ( ) A. A B C G B. A C G C. A E G D. A F G 9.如图Z-2-9,在一个长为2m,宽为 1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱 EF 和草地宽AD平行，且EF 大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点 A 处到达点 C 处需要走的最短路程是 m. 10.如图Z--2--10是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为5d m,3d m 和1 dm,点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 去吃食物，请你计算，这只蚂蚁从点 A 处爬到点B 走的最短路程是多少 11. 如图Z-2-11,一个圆柱高为40cm,底面半径为 cm,一位同学要用彩带装饰这个圆柱，彩带一端从点A开始绕圆柱侧面两周，另一端到达点 B，如何缠绕才能使所用的彩带最短，长度是多少 12.如图Z-2--12,长方体的高为5cm,底面长方形的长为4 cm，宽为1cm.若一只蚂蚁从点A 爬到C ，则爬行的最短路程是多少 专项突破训练二 巧用勾股定理解决 折叠与展开问题 1. B 2. B 3.7 4. 5.解：由折叠得。 又∵∠AED'=∠CEB.∴△AD'E≌△CBE.∴D'E=BE.设 D'E=. r,则AE=8-x,在 Rt△AD'E中. 解得 6.解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴.在Rt△ABE中. AE = OA = 5. AB = 4. ∴ BE=3. 从 而CE=2.∴E点坐标为(2.1). 在 Rt△DCE 中,DC“-CE”=DE'.又∵DE=OD,∴(4-OD)'+2'=OD'.解得 ∴D点坐标为 7.(1)证明:由折叠的性质,得∠DEF=∠BEF. ∵AB∥IX'.∴∠BEF-∠DFE.∴∠DEF-∠DFE∴DE-DF.即△DEF 是等腰三角形. (2)解:由折叠的性质,得 DE=BE.设BE=x,则DE=r. AE=AB-x=9-x.在Rt△ADE中,AD=3. AD'÷AE=DE.∴3'+(9-x)'=. r'.解得. t=5.∴BE=5. 8. C 9.2.6 10.解:将台阶展开.如答图Z-2-1. 因为AC=3×3+1×3=12. BC=5. 所以 所以AB=13dm. 所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm. 11.解：沿AB把圆柱侧而展开.如答图Z-2-2所示:显然AC+BD 是彩带的长. AC=BD. CE= 在Rt△ACE中..=25(cm). ∴AC'|BD-2×25-50(cm). 答：当彩带绕 一圈时经过AB ... ...
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