空间向量与立体几何 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知O为空间任意一点，若＝，则A，B，C，P四点( ) A．一定不共面 B. 一定共面 C．不一定共面 D. 无法判断 2．向量a＝(2，4，5)，向量b＝(1，2，t)，若a⊥b，则实数t＝( ) A． B. 1 C. －2 D. － 3. 已知向量a＝(2，3，4)，b＝(1，2，0)，则|a＋b|＝( ) A．2 B. 3 C. 5 D. 4．已知i，j，k是空间直角坐标系O xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且＝3k，＝－i＋j－k，则点B的坐标为( ) A．(1，－1，1) B. (－1，1，1) C. (1，－1，2) D. (－1，1，2) 5．在长方体ABCD A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A. B. C. D. 6. 若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( ) A．α∥β B. α⊥β C．α，β相交但不垂直 D. 以上均不正确 7.四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝( ) A. 1 B. C. D. 2 8.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为棱A1B1的中点，AC＝2，CC1＝BC＝1，AC⊥BC，则异面直线CD与BC1所成角的余弦值为( ) A． B. C. D. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知v1，v2分别为直线的l1，l2方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是( ) A．v1∥v2 l1⊥l2 B．v1⊥v2 l1⊥l2 C．n1∥n2 α⊥β D. n1⊥n2 α⊥β 10. 已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则不正确的有( ) A．与是共线向量 B. 的单位向量是(1，1，0) C．与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 11．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则( ) A．AC1⊥B1C B．直线CD1与BD 所成的角为60° C．三棱锥O B1CD1的体积为 D．直线AC1与平面AA1D1D所成角的正弦值为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．已知平面α的一个法向量为n＝(1，1，1)，原点O(0，0，0)在平面α内，则点P(4，5，3)到α的距离为_____． 13．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝＝c，用a，b，c表示，则＝_____． 14．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支———解析几何．我们知道，方程x＝1在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示_____，过点P(1，－1，2)且法向量为v＝(1，2，3)的平面的方程是_____． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝)． 16．(15分)如图，直三棱柱ABC A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1中点． (1)求〉的值； (2)求证：A1B⊥C1M. 17．(15分)已知边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点． (1)求证：AE∥平面PFQ； (2)求AE到平面PFQ的距离． 18．(17分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中点，PD⊥平面ABCD，PD＝CD＝4，AD＝2. (1)求直线AP与平面CMB所成的角的正弦值； (2)求二面角M CB P的余弦值． 19．(17分)如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1 ... ...
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