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课件网) 第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值. 3.能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质. 4.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数 1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆. 2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作 v=sin α;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作 u=cos α. 正弦v=sin α、余弦u=cos α分别是以角α的大小为自变量,以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数,其定义域为全体实数,其值域为实数的子集合. 单位圆是前提条件 3.设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= ,其中r= . 名师点睛 对正弦函数和余弦函数定义的理解 (1)正弦函数和余弦函数都是函数,它们满足函数的定义,可以看成是从角(弧度制)的集合到一个比值的集合的对应. (2)正弦函数和余弦函数是用单位圆来定义的,所以正弦函数和余弦函数的定义域是实数集R. (3)正弦函数和余弦函数是一个比值,也是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即正弦函数值和余弦函数值的大小只与角有关. 思考辨析 正弦、余弦函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关 提示 正弦、余弦函数值是比值,是一个实数,它的大小与点P在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积.( ) (2)设角α终边上的点P(x,y),r=|OP|≠0(O为坐标原点),则sin α= ,且y越大,sin α的值越大.( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) (4)终边落在y轴上的角的正弦函数值为0.( ) × × √ × 2.[人教B版教材例题]已知角α的终边经过点P(2,-3),求sin α,cos α和tan α. 知识点二 正弦函数、余弦函数的基本性质 根据正弦函数v=sin x和余弦函数u=cos x的定义,不难看出它们具有以下基本性质: (1)定义域都是 ; (2)最大值都是 ,最小值都是 ,值域都是 ; (3)它们都是周期函数,其周期都是 ,最小正周期都是 ; (4)正弦函数v=sin x在区间 上单调递增,在区间 上单调递减;余弦函数u=cos x在区间_____ 上单调递增,在区间 上单调递减. R 1 -1 [-1,1] 2kπ(k∈Z,且k≠0) 2π [2kπ-π,2kπ],k∈Z [2kπ,2kπ+π],k∈Z 名师点睛 正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值或余弦函数值,却有无穷多个角与之对应. 思考辨析 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调递增的 提示 不能,右半圆可以表示无数个区间,只能说正弦函数在每一个区间 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对于任意角α,sin α,cos α都有意义.( ) (2)余弦函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数.( ) (3)存在实数x,使得 ... ...
