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课件网) 第二章 5.1 向量的数量积 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.了解向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量与投影数量. 3.会利用向量数量积的运算律和性质进行计算或证明. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 向量的数量积的定义 如图,已知两个非零向量a和b,作 =b,向量a与b的夹角∠AOB记为
或θ(0°≤θ≤180°). |a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ. 该值与3个量有关 规定零向量与任一向量的数量积为0. 当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0; 当90°<≤180°时,a·b<0; 当=0°时,a·b=|a||b|;当=180°时,a·b=-|a||b|. 名师点睛 对数量积含义的理解 (1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量. (3)两个向量的数量积为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦值的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角θ的余弦值决定. [人教A版教材习题]已知△ABC中, =b,当a·b<0或a·b=0时,试判断△ABC的形状. 思考辨析 自主诊断 [人教A版教材例题]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ= ,求a·b. 知识点二 投影 不是向量,而是一个数量,可正,可负,可为0 投影向量 2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义: b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积(如右图); 或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积. 名师点睛 1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的. 2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的余弦值. 思考辨析 按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos θ,我们可以如何借助图形分析其正负 提示 自主诊断 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量a在向量b方向上的投影一定是正数.( ) (2)向量a在向量b上的投影数量等于向量b在向量a上的投影数量.( ) × × 2.按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos θ,我们可以如何借助图形分析其具体情况 提示 知识点三 数量积的运算律与性质 1.数量积的运算律 对任意的向量a,b,c和实数λ: (1)交换律:a·b=b·a; (2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb); (3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 2.数量积的性质 (1)若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos; (2)若a,b是非零向量,则a·b=0 a⊥b; (3)a·a=|a|2,即|a|= (5)|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立. 名师点睛 1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即若已知向量a,b,c,b≠0,a·b=b·c a=c. 2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. 3.常用运算公式 (1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2. (2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2. (3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. 思考辨析 在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;在向量数量积的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗 提示 不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b. 自主诊断 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个向量的数量积是一个向量.( ) (2)若a·b=b·c,则一定有a=c.( ) (3)(a-b)·c=a·c-b·c.( ) × × √ 重难探究·能力素养速提升 探究点一 平面向量的数量积 角度1.数量积的简 ... ... 
