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课件网) 第二章 6.1 第1课时 余弦定理 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握余弦定理及其变形. 2.掌握余弦定理的证明过程. 3.能够利用余弦定理解决有关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 余弦定理及其变形 1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 2.余弦定理的变形 名师点睛 1.对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立. (2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求三角形的第三边.实际上,若已知其中的任意三个量,都可以求出第四个量. 2.余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90°,则cos C=0,于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角),则 a2+b2
c2 △ABC是锐角三角形,且角C为锐角. 3.对余弦定理的变形的理解 (1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形. (2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. (3)应用余弦定理的变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角. (4)余弦定理及其变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 思考辨析 在边长为5,7,8的三角形中,如何求出最大角与最小角的和 提示 设中间角为θ,由于8>7>5,故角θ的对边长为7,由余弦定理,得 cos θ= .所以θ=60°,故最大角与最小角的和为180°-60° =120°. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.( ) (2)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一.( ) (3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角.( ) (4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角.( ) (5)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则△ABC为锐角三角形.( ) √ × √ × × 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2= ac,则角B的值 为( ) A 3.[人教A版教材习题]在△ABC中,已知a=5,b=2,C= ,求c. 知识点二 三角形的面积公式 1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则 S△ABC= aha= = . 2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则 S△ABC= absin C= = . 名师点睛 三角形面积公式的其他形式 思考辨析 在△ABC中,已知b=1,c=2,△ABC的面积为 ,试求角A的度数. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)求三角形的面积时,每条边都可以作为底.( ) (2)直角三角形只要已知斜边就能求出面积.( ) (3)已知三角形的三边不能求出三角形的面积.( ) 2.在△ABC中,已知b=1,c=2,A=150°,则△ABC的面积为 . √ × × 重难探究·能力素养速提升 探究点一 已知两边及一角解三角形 【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=2 ,A=30°,求a; (2)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,求角A,角C和边a. 规律方法 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程, ... ... 
