(
课件网) 第六章 6.2 柱、锥、台的体积 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其三种几何体体积计算公式的内在联系. 2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求有关几何体的体积,并掌握求几何体体积的基本技巧. 基础落实·必备知识一遍过 知识点 柱体、锥体、台体的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱体 棱柱 V= h为棱柱的高 S为棱柱的底面面积 圆柱 V=πr2h=Sh r为圆柱的底面半径 h为圆柱的高 S为圆柱的底面面积 锥体 棱锥 V= S为棱锥的底面面积 h为棱锥的高 圆锥 r为圆锥的底面半径 h为圆锥的高 S为圆锥的底面面积 Sh 三棱锥的每个面都可以作为底面 名称 体积(V)公式 备注 台体 棱台 V= S上,S下分别为棱台上、下底面的面积 h为棱台的高 圆台 V= πh(r2+rr'+r'2) = (S上+S下+ )h r,r'分别为圆台上、下底面的半径 h为圆台的高,S上,S下分别为圆台上、下底面的面积 名师点睛 在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体= Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为 由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例. 思考辨析 1.求三棱锥的体积时有何技巧 提示 因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥. 2.台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求 提示 台体是由锥体用平行于底面的平面截得的空间几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下: 如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x,则V台体=V大锥体-V小锥体= 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)从同一顶点出发的长方体的三条棱长分别为a,b,c,则V长方体=abc.( ) (2)同底面积等高的柱体的体积是锥体体积的3倍.( ) (3)圆台上、下底面半径分别为2,6,母线长为6,则圆台的体积为48π.( ) (4)若圆锥的高扩大为原来的2倍,底面半径缩短为原来的 ,则圆锥的体积变为原来的 .( ) √ √ × √ 2.把一张长为6、宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所围圆柱的底面半径是多少 所得圆柱体积是多少 重难探究·能力素养速提升 探究点一 柱体体积的计算 【例1】 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm,宽为6 cm的矩形,求此正三棱柱的体积. 解 设正三棱柱的高为h cm,底面等边三角形的边长为a cm. ①若正三棱柱的底面周长为9 cm,则高h=6 cm,3a=9 cm,∴a=3 cm, 规律方法 柱体体积的计算方法 (1)公式法. 求出底面积和高,运用公式求出体积. (2)记住特殊的柱体的体积公式. ①正方体的体积=棱长的立方; ②长方体的体积=长×宽×高. 变式训练1已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为( ) A.2π B.4π C.8π D.16π D 解析 V圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π. 探究点二 锥体体积的计算 【例2】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1. (1)求V1,V2以及V1∶V2; (2)求点A到平面A1BD的距离d. (2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD 是同一个几何体. 在△A1BD中,A1B=BD=A1D= a, 取BD的中点H,连接A1H, 变式探究若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化 试证明你的结论. 解 不会.证明如下,不妨设在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较 ... ...
