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课件网) 第六章 6.3 球的表面积和体积 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题. 2.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 球的基本性质 1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的 ;被不经过球心的平面截得的圆称为球的 . 2.球的切线 (1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球 ,这一交点称为直线与球的 . (2)过球外一点的所有切线的切线长都 ,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥. 大圆 小圆 相切 切点 相等 名师点睛 1.球的直径等于球的内接长方体的对角线长,即 (其中R为球的半径,a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 2.球面被两个平行截面所截得的圆的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心. 思考辨析 1.球面被经过球心的平面截得的圆一定是大圆吗 2.球的表面能否展开为平面图形 提示 是. 提示 不能. 自主诊断 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)过球外一点有且只有一条切线与圆相切.( ) (2)球面上的任意三点确定一个平面.( ) (3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( ) × √ √ 知识点二 球的表面积与体积公式 条件 球的半径为R 表面积公式 S球面=4πR2 体积公式 V球= πR3 V球= S球面·R 名师点睛 1.球的表面是曲面,不能展开为平面图形(即球没有表面展开图),也不能用计算平面图形面积的方法去计算其准确面积; 2.用球的表面积公式求得的球的表面积是准确值,而不是近似值,球的体积和表面积公式以后可以证明. 思考辨析 若球的体积与其表面积数值相等,球的半径为定值吗 提示 是定值,说明如下:设球的半径为R,则4πR2= πR3,解得R=3. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( ) (2)若球的直径为1,则球的体积为 .( ) (3)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.( ) (4)若球的半径变为原来的2倍,则球的表面积变为原来的2倍.( ) (5)球的体积是关于球半径的一个函数.( ) × √ × × √ 2.已知A,B,C是球面上三点,且AB=AC=4,∠BAC=90°,若球心O到平面ABC的距离为2 ,则该球的表面积为 . 64π 解析 因为AB=AC=4,∠BAC=90°, 所以BC为平面ABC截球所得小圆的直径, 重难探究·能力素养速提升 探究点一 球的表面积与体积 (2)已知球的表面积为64π,求它的体积. 【例1】 (1)若两个球的半径之比为1∶3,求这两个球的表面积之比. 规律方法 1.球的基本量是球的半径,由半径可以求出球的表面积和体积,反过来,由表面积和体积也可以求出球的半径,进而解决其他问题. 2.球的表面积之比是半径比的平方,球的体积之比是半径比的立方. 变式训练1若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的 倍,表面积变为原来的 倍. 8 4 探究点二 球的截面 【例2】 在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 规律方法 1.有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. 2.解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2. 变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A 解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解. 如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2(cm), 设球的半径为R cm, 则R2=OM2+ ... ...
