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课件网) 第二章 3.1 抛物线及其标准方程 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.体会数形结合思想在抛物线问题中的应用. 3.会解决抛物线的简单应用问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 抛物线的定义 1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线. 2.集合语言表达式:抛物线是点的集合P={M||MF|=d},其中d是点M到直线l的距离. 平面内符合条件的点集 名师点睛 抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛物线的准线;“一相等”即|MF|=d(d为点M到准线l的距离). 思考辨析 在抛物线定义中,若定点F在定直线l上,动点的轨迹如何 提示 若定点F在定直线l上,则满足条件的点的轨迹是一条过点F且垂直于直线l的直线. 自主诊断 [人教B版教材习题]已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程. 解 因为曲线上的点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,则曲线上面的每个点到点A(0,2)的距离都等于它到直线y=-2的距离,∴曲线轨迹是以A点为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,∴曲线的方程为y2=8x. 知识点2 抛物线的标准方程 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 思考辨析 如图,已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p>0),请给出一种建立适当平面直角坐标系的方法,能使抛物线方程最为简单. 提示 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与准线l相交于点K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,这样得出的方程为最简单形式之一. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)抛物线的方程都是y关于x的二次函数.( ) (2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离是p. ( ) (3)平面内到一定点的距离与到一定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y.( ) (5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是( ,0),准线方程是x=- .( ) × √ × √ × 2.[人教B版教材习题]分别根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(2,0); (2)准线方程是x=- . 解 (1)由题意知,抛物线的焦点在x轴的正半轴上,且 =2,∴p=4, ∴抛物线的标准方程为y2=8x. (2)由题意知,抛物线的焦点在x轴的正半轴上,且 ∴p=3,∴抛物线的标准方程为y2=6x. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 求抛物线的标准方程 【例1】 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)经过点(-3,-1); (2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 解 (1)因为点(-3,-1)在第三象限, 所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0), (2)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3; 令y=0,得x=4,即直线与坐标轴的交点为(0,-3),(4,0),所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0). 当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y; 当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x. 故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 规律方法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [注意]当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数. 变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程: (1)准线方程为y= ; (2)焦 ... ...
