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课件网) 第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.能从方程联立的角度理解直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系(相交、相切、相离). 2.会求有关圆锥曲线的弦长、过焦点的弦、中点弦等问题. 3.逐步学会直线与圆锥曲线的综合性问题(定点、定值、最值、存在性等问题). 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 直线与圆锥曲线的位置关系 1.从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有两个不同的公共点. 2.从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断直线与圆锥曲线的位置关系.设直线l的方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0),圆锥曲线方程f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. (1)若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线对称轴平行(或重合). (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ 0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点; 当Δ 0时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当Δ 0时,直线和圆锥曲线没有公共点. 名师点睛 在使用根的判别式判断位置关系时一定注意讨论二次项系数是否为0,点斜式设直线时注意考虑斜率是否存在. > = < 自主诊断 1.[人教B版教材习题]举例说明,直线与抛物线只有一个公共点不是它们相切的充分条件. 解 例如抛物线y2=4x与直线y=1只有一个公共点,但它们相交. 2.[人教B版教材习题]已知直线l:y=kx+2和椭圆C: =1.分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时k的取值范围. 知识点2 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 1.斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长 |P1P2|= 或|P1P2|= . 2.当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(用两点间的距离公式). 3.焦点弦:过圆锥曲线焦点的弦叫作焦点弦. 4.通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴,此时焦点弦也叫 通径. 名师点睛 当直线的斜率不存在时,不能用弦长公式解决问题,此时 思考辨析 已知直线l:y=kx+m上两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的长度如何表示 自主诊断 [人教B版教材习题]已知直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A,B两点,求线段AB的长. 知识点3 圆锥曲线的中点弦问题 点差法是解决“中点弦”问题的特殊方法 名师点睛 因为Δ>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必要检验Δ>0. 自主诊断 1.[人教B版教材习题]已知斜率为2的直线AB过抛物线y2=8x的焦点,求弦AB的长. 2.[人教B版教材习题]已知直线l:y=x-3与抛物线C:x2=-8y相交于A,B两点,且O为坐标原点. (1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标; (2)判断 是否成立,并说明理由. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】 (1)若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为 ( ) A.1 B.1或3 C.0 D.1或0 D 解析 由 得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,则直线为y=2,与抛物线只有一个公共点,符合题意. 若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k=0或1. (2)已知直线y=kx-k+1与椭圆C:x2+my2=3恒有公共点,则实数m的取值范围是 . (0,1)∪(1,2] 解析 ∵曲线x2+my2=3表示椭圆, ∴m>0且m≠1,由题意可知直线恒过定点(1,1),且该点在椭圆内或在椭圆上,所以有1+m≤3,解得m≤2, ∴m的取值范围为(0,1)∪(1,2]. 规律方法 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问 ... ...
