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课件网) 第三章 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律. 4.理解空间两个向量夹角的定义. 5.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 空间向量的定义及相关概念 1.定义 任意一个空间向量都包括大小和方向两个要素,有关概念可类比平面向量而得 在空间中,我们把具有 和 的量叫作空间向量,向量的大小叫作向量的 . 2.空间向量及其模的表示方法 空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量 ,其模用|a|或 表示. 大小 方向 长度或模C 3.空间向量的相关概念 名称 概念 零向量 模为0的向量 起点与终点相同的向量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 方向 且模 的向量 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量) 共面向量 把平行于同一平面的向量叫作共面向量 相同 相等 相反 相等 名师点睛 1.空间向量有大小和方向,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空间中平移. 2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. 思考辨析 1.跳伞运动员在降落过程中受到来自不同方向,大小各异的力,如绳索的拉力、风力、重力等,这些力在同一平面内吗 在数学上,我们怎样表示这些力 提示 这些力不在同一平面内.在数学上,我们用空间向量表示这些力. 2.空间中任意两个向量共面吗 空间中任意三个向量呢 提示 空间中任意两个向量都是共面的,但空间中任意三个向量不一定 共面. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)在表示空间向量时,表示该向量的有向线段的起点可任意选取.( ) √ √ √ × 2.[人教A版教材习题]举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例. 3.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E, F分别为棱AA',AB的中点. (1)写出与向量 相等的向量; (2)写出与向量 相反的向量; (3)写出与向量 平行的向量. 知识点2 空间向量 的运算 空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算,向量λa的长度和方向满足: (1)|λa|= ; (2)当λ>0时,向量λa与向量a方向 ;当λ<0时,向量λa与向量a方向 ;当λ=0时,λa= 运算律 (1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) λ(μa)=(λμ)a (3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa λ(a+b)=λa+λb 其中λ∈R,μ∈R |λ||a| 相同 相反 0 思考辨析 涉及空间两个向量的问题,平面向量中的有关结论是否仍然适用 提示 适用. 自主诊断 3.[人教A版教材习题]如图,已知在四面体ABCD中, E,F分别是BC,CD的中点.化简下列表达式,并在图中标出化简结果: 知识点3 共线向量基本定理 定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”) 思考辨析 共线向量基本定理中的限制条件是什么 为什么 提示 共线向量定理中限制条件b≠0,即若b=0,a≠0时,实数λ不存在. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)空间向量a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.( ) (2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( ) × × 2.[人教A版教材习题]证明:如 ... ...
