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课件网) 第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质及应用 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质. 2.能够运用等差数列的性质解决有关问题. 3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 等差数列与一次函数的关系 突出了首项、公差、项数的特征 类型 等差数列 一次函数 解析式 an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d) f(x)=kx+b(k≠0) 不同点 ①定义域为N+. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点 ①定义域为R. ②图象是一条直线 类型 等差数列 一次函数 相同点 ①当d≠0时,等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的a1,d,n,an四个量中知三求一和一次函数中求k,b的方法都是解方程(组) 利用一次函 数判断等差 数列的方法 若一个数列的通项公式的等号右边是关于n的一次式,则此数列一定是等差数列且n的系数为公差d 名师点睛 对于等差数列an=a1+(n-1)d,当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列. 思考辨析 1.观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关 2.等差数列的单调性与公差有何关系 提示 一次函数. 提示 设等差数列{an}的公差为d,则有d>0 {an}为递增数列;d<0 {an}为递减数列;d=0 {an}为常数列. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等差数列的图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.( ) (2)如果等差数列的通项公式为an=pn+q(其中p,q为常数),则其公差为p. ( ) (3)如果等差数列的公差d<0,则该等差数列为递减数列.( ) √ √ √ 2.若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为( ) A.p+q B.0 C.-(p+q) D. B 3.[人教B版教材习题]根据下列等差数列的通项公式,求数列的首项与公差. (1)an=3n+5; (2)an=12-2n. 解 (1)a1=8,公差d=3.(2)a1=10,公差d=-2. 知识点2 等差中项 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的 ,且A= . 等差中项 思考辨析 将绕在筒盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆,已知卫生纸的厚度为 0.2 mm,从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为20.2 mm,20.4 mm, 20.6 mm,20.8 mm,21.0 mm,…,50.0 mm,观察上面这个数列,其任意连续三项之间有什么样的关系 提示 在任意连续三项中,第一项与第三项的和是第二项的2倍. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)不是所有的两个实数都有等差中项.( ) (2)两个实数的等差中项不小于这两个实数的任意一个.( ) (3)若三个数m,n,p满足2n=m+p,则m,n,p一定是等差数列.( ) × × √ 2.已知{an}是等差数列,且a3-1是a2和a5的等差中项,则{an}的公差为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 A 解析 设等差数列{an}的公差为d,由已知条件,得a2+a5=2(a3-1), 即a1+d+(a1+4d)=2(a1+2d-1),解得d=-2. 故选A. 知识点3 等差数列的常用性质 当m=1时,该公式就变为了等差数列的通项公式 性质1 通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) 性质2 若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an 性质3 若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列 名师点睛 1.在等差数列{an}中,若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N+),ap为am和an的等差中项. 2.在等差数列{an}中,若m+n+t=p+q+r,则am+an+at=ap+aq+ar(m,n,t,p,q,r∈N+). 3.在等差数列{an}中, 思考辨析 1.在等差数列{an}中,若m,n,p,q,…成等差数列,那么am,an,ap,aq,…也成等差数列吗 若成等差数列,公差是什么 2 ... ...
