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课件网) 第2章 §5 简单复合函数的求导法则 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.了解复合函数的概念. 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作 ,其中u为 . y=f(φ(x)) 中间变量 思考辨析 函数y=log2(x+1)是复合函数吗 是由哪些函数复合而成的 提示 是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) √ √ × 2.函数y=sin(2x-1)如果看成复合函数y=f(φ(x)),下列式子正确的是( ) A.φ(x)=2x B.φ(x)=sin x C.φ(x)=2x-1 D.φ(x)=sin(2x-1) C 解析 y=sin(2x-1)是由函数y=sin u和u=2x-1复合而成,可见φ(x)=2x-1. 知识点2 复合函数的求导法则 复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x). 名师点睛 求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本初等函数结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=e-x的导数为y'=e-x.( ) (2)函数f(x)=sin 4x的导数为f'(x)=cos 4x.( ) (3)已知f(x)=ln(2x+1),则f'(x)= . ( ) × × √ 2.函数y=(2 025-8x)3的导数y'等于( ) A.3(2 025-8x)2 B.-24x C.-24(2 025-8x)2 D.24(2 025-8x)2 C 解析 y'=3(2 025-8x)2×(2 025-8x)'=3(2 025-8x)2×(-8)=-24(2 025-8x)2. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 求复合函数的导数 【例1】 求下列函数的导数. (1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- );(3)y=ln(4x-1);(4)y= . 分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导. 解 (1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24. 规律方法 1.解答此类问题常犯两个错误: (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数; (2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成. 2.复合函数求导的步骤: 变式训练1[人教B版教材例题]求下列函数的导数. (1)h(x)=e5x-1; (2)f(x)=ln(2x+1); 解 (1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'(5x-1)'=eu×5=5e5x-1. (2)f(x)=ln(2x+1)可以看成h(u)=ln u与u=g(x)=2x+1的复合函数,因此 探究点二 复合函数求导与导数的运算法则的综合应用 【例2】 求下列函数的导数. 规律方法 此类问题出错的主要原因一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号混淆.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性. 变式训练2求下列函数的导数. (1)y=(2x-1)3; (2)y=sin 2x+cos 2x; (3)y=(ln x)2. 解 (1)设y=u3,u=2x-1,则yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2. (2)y'=(sin 2x)'+(cos 2x)'=2cos 2x-2sin 2x. 探究点三 与复合函数有关的切线问题 【例3】 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( ) A (2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= . 2 解析 令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又因为切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2 ... ...
