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课件网) 第2章 6.1 函数的单调性 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.理解导数与函数单调性的关系. 2.会利用导数判断或证明函数单调性. 3.会利用导数求函数单调区间.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系. 5.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法. 基础落实·必备知识一遍过 函数的两个单调区间之间不能用“∪” 知识点1 导数的符号与函数的单调性之间的关系 1.若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x) ; 2.若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x) . 单调递增 单调递减 名师点睛 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上单调递增(或单调递减)的充分条件. 2.若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减. 思考辨析 在区间(a,b)内,函数f(x)单调递增是f'(x)>0的什么条件 提示 必要不充分条件. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.( ) (2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.( ) (3)若函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( ) × × √ 2.[2024湖北武汉月考]函数y=ex-e2x的单调递增区间为 . [2,+∞) 解析 由题得y'=ex-e2≥0,可得x≥2. 故函数的单调递增区间为[2,+∞). 知识点2 函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内: 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 较大 比较“ ——— (向上或向下) 较小 比较“ ——— (向上或向下) 较快 陡峭 较慢 平缓 名师点睛 1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化. 2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的“陡峭”(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系. 思考辨析 如何借助导函数y=f'(x)的图象确定函数y=f(x)的单调区间 提示 在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)>0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递增;在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)<0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递减. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减. ( ) (2)函数图象越“陡峭”,导数的绝对值越大;函数图象越“平缓”,导数的绝对值越小.反之,亦成立.( ) √ √ 2.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的( ) D 解析 由题意可知,当x<0或x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象可能是选项D. 知识点3 已知函数单调性求参数的取值范围 1.解题步骤: 函数在区间[a,b]上单调递增(减)→ f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证 2.注意事项: 一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解. 3.解决该类问题常用的有关结论: m≥f(x)恒成立 ; m≤f(x)恒成立 . m≥f(x)max m≤f(x)min 自主诊断 1.判断正误.(正确的 ... ...
