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课件网) 第2章 6.3 函数的最值 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 基础落实·必备知识一遍过 知识点 函数最值的定义 1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)(如图所示). x0∈[a,b] 由上图可以看出,最大值或者在极大值点(也是导数的零点)取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求 出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点和最小值也是用类似的方法定义. 2.函数的最大值和最小值统称为 . 最值 名师点睛 1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)内的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值. 2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数 在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值. 3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个定义的区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有. 4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值. 思考辨析 你能类比最大值点和最大值的定义方法,给出最小值点和最小值的定义吗 提示 函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都大于或等于f(x0),函数的最小值可以在区间的内部取得,也可以在区间的端点处取得,要想求函数的最小值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最小的值即为函数的最小值. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) (2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( ) (3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.( ) √ × × 2.下列结论正确的是( ) A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值 B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a或x=b处取得 D.若函数f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值 D 解析 函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则它在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值. 3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为( ) B 重难探究·能力素养速提升 探究点一 求函数的最值 角度1.求函数在闭区间上的最值 【例1】 求下列函数在相应区间上的最值: (1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1]; (2)f(x)=2sin x-x,x∈ 解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 f'(x) + 0 - f(x) -14 ↗ 极大值-10 ↘ -12 所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 规律方法 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法 变式训练1函数f(x)=cos ... ...
