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课件网) 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 第1课时 第八章 成对数据的统计分析 数学 学习目标 ①通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度,体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理. ②根据最小二乘法参数估计，会计算经验回归方程，并进行预测. ③通过对残差和残差图的分析，能用残差判断一元线性回归模型的有效性. 问题1：为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型表达式，刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b 与函数不同,回归模型的参数一般是无法精确求出的,只能通过成对样本数据估计这两个参数. 由于参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过成对样本数据估计这两个参数,相当于寻找一条适当的直线,使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究新知 问题2：们怎样寻找一条“最好”的直线,使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近” 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 探究新知 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, , n)，得 显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点 (xi , bxi+a)的“距离”越小，即 样本数据点离直线y=bx+a的竖 直距离越小，如右图所示. 特别地，当ei = 0时，表示点(xi , yi)在 这条直线上. 探究新知 因此，可以用这n个竖直距离之和 来刻画各样本观 测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”. 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各 散点到直线的竖直距离的平方之和 来刻画“整体接近程度”. 所以我们可以取使Q达到最小的a和b的值作为截距和斜率的估计值. 探究新知 探究新知 要使Q取到最小值，则 ∴要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 综上，当a, b的取值为 时，Q达到最小. 探究新知 经验回归方程与最小二乘估计： 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用公式 (2)求得的 叫做b, a的最小二乘估计. 易得（1）经验回归直线必过点 ; （2） 与相关系数r符号相同. 知识小结 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 对于上表中的数据，利用公式可以计算出 得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为 相应的经验回归直线如图所示. 探究新知 探究新知 问题3：(1)当x=176时, ,如果一位父亲的身高为176 cm,他儿子长大成人后的身高一定是177 cm吗 为什么 儿子的身高不一定会是177 cm,这是因为还有其他影响儿子身高的因素,回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响,父亲身高不能完全决定儿子身高.不过,我们可以作出推测,当父亲身高为176 cm时,儿子身高一般在177 cm左右. 探究新知 (2)根据经验回归方程中斜率的具体含义,高个子的父亲一定生高个子的儿子吗 同样,矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗 并不一定.根据经验回归方程 中斜率0.839可以解释为父亲身高每增加1 c ... ...
