1.2.3 简单复合函数的求导 学案（含答案）

1．2.3　简单复合函数的求导 能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 课前预习教 材 要 点 要点一　复合函数的概念 一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x)) 是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数． 要点二　复合函数的求导 法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝_____，即y对x的导数等于_____． 批注 　判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，内层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层地分析． 批注 　关键在于： (1)准确将复合函数分解成基本函数； (2)正确运用复合函数的求导法则． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(　　) (2)函数f(x)＝sin (2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(　　) (3)函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(　　) 2．函数y＝cosnx可由(　　) A．y＝un和u＝cosxn复合而成 B．y＝u和u＝cosnx复合而成 C．y＝un和u＝cosx复合而成 D．y＝cos u和u＝xn复合而成 3．函数y＝cos (－x)的导数是(　　) A．cos x B．－cos x C．－sin x D．sin x 4．已知函数f(x)＝e－x，则f′(－1)＝_____． 　题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1　求复合函数的导数 例1　(1)y＝； (2)y＝cos (x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 方法归纳 复合函数求导的步骤 巩固训练1　求下列函数的导数． (1)y＝(4－3x)2； (2)y＝cos (2x－)； (3)y＝ln (4x－1)； (4)y＝. 题型2　复合函数导数的应用 例2　设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝ f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．求a，b的值． 方法归纳 解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法 正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．巩固训练2　求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4e－x＋1－2在点M(1，－3)处的切线l平行的直线方程． 1．2.3　简单复合函数的求导 新知初探·课前预习 [教材要点] 要点二 y′u·u′x　y对u的导数与u对x的导数的乘积 [基础自测] 1．(1)√　(2)×　(3)√ 2．解析：y＝cosnx，中间变量为u＝cosx. 答案：C 3．解析：y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x. 答案：C 4．解析：因为f′(x)＝－e－x，所以f′(－1)＝－e. 答案：－e 题型探究·课堂解透 例1　解析：(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2x sin (x2)． (3)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′uu′x＝＝. (4)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. 巩固训练1　解析：(1)y′＝[(4－3x)2]′＝2(4－3x)·(4－3x)′ ＝2(4－3x)·(－3)＝18x－24. (2)y′＝[cos (2x－)]′＝－sin (2x－)·(2x－)′＝－2sin (2x－)． (3)y′＝[ln (4x－1)]′＝·(4x－1)′＝. (4)y′＝)′＝·(x2)′＝. 例2　解析：由曲线y＝f(x)过(0，0)点， 可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b， 得f′(x)＝＋a， 则f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率． 由题意，得＋a＝，故a＝0. 巩固训练2　解析：∵y′＝(3x2－4e－x＋1－2)′＝6x＋4e－x＋1， ∴曲线在点M(1，－3)处的切线l的斜率为6＋4＝10， 过点P(－1，2)且与切线l平行的直线方程为y－2＝10(x＋1)，即10x－y＋12＝0. ... ...