1.3.1 函数的单调性与导数 学案（含答案）

1．3.1　函数的单调性与导数 (1)了解导数与函数的单调性的关系．(2)掌握利用导数判断函数单调性的方法．(3)能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 新知初探·课前预习———突出基础性 教 材 要 点 要点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递____ f′(x)<0 单调递____ 要点二　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 ____ 比较“_____”(向上或向下) 越小 ____ 比较“_____”(向上或向下) 批注 　f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势． 批注 　f′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　) 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A.f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定 3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 4．函数f(x)＝的单调递减区间为_____． 题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1　单调性与导数的关系 例1　设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　) 方法归纳 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 巩固训练1　偶函数f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为(　　) 题型2　利用导数求函数的单调区间 例2　求函数f(x)＝x2－ln x的单调区间． 方法归纳 求函数单调区间的步骤 巩固训练2　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为_____． 题型3　已知函数的单调性求参数的范围 例3　(1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是_____； (2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围． 方法归纳 利用导数求参数取值范围的两个策略 巩固训练3　已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围． 1．3.1　函数的单调性与导数 新知初探·课前预习 [教材要点] 要点一 增　减 要点二 快　陡峭　慢　平缓 [基础自测] 1．(1)×　(2)×　(3)√ 2．解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0. 答案：B 3．解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 答案：A 4．解析：易知f′(x)＝－，由f′(x)＜0得x＜0或x＞0，所以单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞) 题型探究·课堂解透 例1　解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时，f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负后正，最后为负． 答案：B 巩固训练1　解析：由题意可知，f′(x)为偶函数，设f′(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为－x1，x1，(x1>0)，由图象可得，当x<－x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当