专题5.3 分式的运算【十大题型】 【北师大版】 【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】 2 【题型2 分式的混合运算】 4 【题型3 分式的化简求值】 7 【题型4 比较分式的大小】 10 【题型5 分式运算的实际应用】 13 【题型6 分式运算的规律探究】 18 【题型7 分式运算的新定义问题】 21 【题型8 分式运算的阅读材料题】 26 【题型9 整数指数幂】 31 【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】 32 知识点1：分式的运算 分式的乘除法法则： 1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： 2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： 3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。= 4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式. 分式的加减法则： 1）同分母分式：分母不变，分子相加减 2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。 【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】 【例1】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，② 当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 【变式1-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1-2】（24-25·山东烟台·八年级统考期末）若 ，其中a，b为常数，则 ． 【答案】1 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 【变式1-3】（24-25八年级·山东威海·阶段练习）若，对任意自然数都成立，则 ． 【答案】/ 【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到，进而得到关于a、b的方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案． 【详解】解： ， ，对任意自然数都成立， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【题型2 分式的混合运算】 【例2】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（ ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】先将分式化简、变形为，由x为 ... ...
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