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课件网) 第8章 多边形 8.1.2.1 三角形的内角和 七年级下 H S 学习目标 难点 重点 1. 知道三角形的内角和定理，知道直角三角形的两个锐角互余. 2. 应用三角形的内角和进行相关计算. 新课引入 某天，“三角形家族”就三角形内角和的大小展开了一场激烈的争论，请同学们为它们评判一下吧. 我是直角三角形，我的内角和最大 我有一个钝角，比你的三个角都大，所以我的内角和才是最大的 我虽然是锐角三角形，但是我的个头最大，所以我的内角和才是最大的 新知学习 探究1 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 从上面的操作过程，你能发现证明思路吗？ 你能用演绎推理的方式说明上述结论的正确性吗？ 求证：三角形三个内角的和等于180° 已知:△ABC，∠1、∠2、∠3 分别表示△ABC 的三个内角. 证明：∠1 +∠2 +∠3 = 180°. B A C 1 2 3 解：方法一： 延长 BC 至点 E，以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠2， 则 CD∥BA (同位角相等，两直线平行). ∵CD∥BA， ∴∠1 = ∠ACD (两直线平行，内错角相等). ∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°， ∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° (等量代换). E D B A C 1 2 3 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 解：方法二： 过点 A 作直线 l，使得 l ∥ BC， ∴∠2 =∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理∠3 =∠5. 又∠1 +∠4 +∠5 = 180° (平角定义)， ∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° (等量代换). l A C B 1 2 3 4 5 三角形的内角和等于 180°. l A C B 1 2 3 4 5 E D B A C 1 2 3 借助平行线的“移角”功能，将三角形的内角和转化为一个平角. 为了证明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 思考1 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 探究 2 如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 在直角△ABC 中，∠C = 90°， 由三角形内角和等于180° ， 得∠A +∠B +∠C = 180°， 故∠A + ∠B = 90°. 思考2 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ A B C 应用格式： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 直角三角形的两个锐角互余． 例1 在 △ABC 中， ∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数. 解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°， ∠C 为 (x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 故 ∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 例2 如图，AD 是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C =65°，求 ∠BAC的度数. 解: 在Rt△ABD中， ∵∠1+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠B=90°-∠1(等式性质). 又∵∠1=45°(已知)， ∴∠B=90°-45°=45°(等量代换). 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C(等式性质). 又∵∠B=45°(已求)，∠C =65°(已知)， ∴∠BAC=180°-45°-65°=70°(等量代换). A C B D 65° 1 思考3 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC 中，∠A +∠B +∠C=180°， ∠A +∠B =90°， 由三角形内角和等于180° ， 得∠C = 90°， 故△ABC是直角三角形. 有两个角互余的三角形是 ... ...
