2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：2.1.1等式的性质与方程的解集（含解析）

2.1.1等式的性质与方程的解集 一、选择题 1．如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是(　　) A．2a＝3c　　　 B．4a＝9c C．a＝2c D．a＝c 2．(多选)下列属于恒等式的有(　　) A．＝|a| B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．4x＝2 024 D．(x－1)2＝0 3．将4x2＋1分别加上下列各项，其中不能化成(a＋b)2形式的是(　　) A．4x　　　B．－4x　　　C．4x4　　　D．16x 4．代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值为(　　) A．－16　　　B．16　　　 C．－8 D．8 5．已知x2－3x＋1＝0，则x3＋＝(　　) A．－18 B．18 C．－9 D．9 6．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是(　　) A．1 B．2　　　 C．3 D．4 7．(多选)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且N M，则实数m的值可以是(　　) A．0 B．－3 C．－8 D．3 二、填空题 8．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为_____． 9．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，则a＋b的值为_____． 10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B A，则实数a取值集合的真子集的个数为_____． 11．我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问：总是几人，每人各得几两？”其意思是：现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有_____人，每个人分得_____两银子． 12．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝12，则x＝_____． 三、解答题 13．分解因式： (1)8x3＋4x2－2x－1； (2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3． 14．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0． (1)若方程有实数根，求实数k的取值范围； (2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根． 15．常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y) ＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y) ＝(x－2y)(x＋2y－2)． 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式x2－2xy＋y2－25； (2)△ABC三边a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状． 答案解析 1．B　[由题图可知，2a＝3b，2b＝3c，根据等式的性质得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．] 2．AB　[A、B属于恒等式；只有当x＝506时，等式4x＝2 024才成立；只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选AB．] 3．D　[对于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此选项不符合题意； 对于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此选项不符合题意； 对于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此选项不符合题意； 对于D，4x2＋1＋16x，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意．故选D．] 4．B　[5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0， 所以代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故选B．] 5．B　[因为x2－3x＋1＝0，所以x≠0，所以x＋＝3． 原式＝ ＝＝3(32－3)＝18．] 6．D　[设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x ... ...