2．2.3 一元二次不等式的解法 新课导入 学习目标 前面我们学习了一元二次方程x2－2x－3＝0的解集，它与一元二次不等式x2－2x－3>0有什么样的关系呢？这节课我们一起研究一下吧． 1.解一元二次不等式的概念．2．掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法．3．会解简单的分式不等式． INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF" [知识梳理] 1．一元二次不等式的概念 一般地，形如_____的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且_____．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法 一般地，如果x1
0的解集是_____． (2)配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为_____或_____的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集，如下表： 类别 k>0 k＝0 k<0 (x－h)2>k 转化为|x－h|>，解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞) (－∞，h)∪(h，＋∞) R (x－h)20 a≠0 (x1，x2) (－∞，x1)∪(x2，＋∞) (x－h)2>k (x－h)20； (2)(对接教材例2)－2x2＋5x－2<0. 【解】 (1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0， 因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)因为－2x2＋5x－2＝－2 ＝－2＝－2＋， 所以－2＋<0，即>. 所以x－>或x－<－， 解得x>2或x<. 所以原不等式的解集为∪(2，＋∞). eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" ) 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解． [跟踪训练1] 求下列不等式的解集： (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解：(1)因为4x2－4x＋1＝(2x－1)2， 所以原不等式可化为(2x－1)2>0， 所以不等式的解集为∪. (2)因为原不等式可化为x2－6x＋10<0， x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以原不等式等价于(x－3)2＋1<0， 所以原不等式的解集为 . 角度2 解含参数的一元二次不等式 [例2] 已知关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R). (1)当a＝－2时，求不等式的解集； (2)当a>0时，求不等式的解集． 【解】 (1)当a＝－2时，不等式为－2x2＋x＋1<0， 即2x2－x－1>0，解得x<－或x>1， 所以不等式的解集为. (2)当a>0时，不等式可化为(ax－1)(x－1)<0， 即(x－1)<0， 若a＝1，则不等式为(x－1)2<0，不等式的解集为 ； 若a>1，则<1，解不等式得1时，不等式的解集为. eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" ) 解含参数的一元二次不等式的步骤 INCLUDEPICTURE "../../生物/22C4B.tif" \* MERGEFORMAT 注意 求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． [跟踪训练2] 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R). 解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，有aa2； 当a＝0时，a＝a2＝0，所以x≠0； 当0a2， 所以xa； 当a＝1时，a＝a2＝1，所以x≠1； 当a>1时，有aa2. 综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x