6.2.4 第2课时 平面向量数量积的应用（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

第 2 课时　平面向量数量积的应用 ——— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学) [课时目标] 1．进一步掌握数量积的运算，掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角及证明问题． 题型(一)　向量的数量积 平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝_____. (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝_____. (3)分配律：(a＋b)·c＝_____. (4)(a＋b) 2＝a2＋2a·b＋b2. (5)(a－b) 2＝a2－2a·b＋b2. (6)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (7)(a＋b＋c) 2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a. [例1]　(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 ·＝(　　) A. B．3 C．2 D．5 听课记录： |思|维|建|模| 求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．　 [针对训练] 1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝2，则·＝(　　) A．2 B．4 C．3 D. 2．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝_____. 题型(二)　向量的模 [例2]　已知向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|. 听课记录： |思|维|建|模| 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　 [针对训练] 3．已知向量a，b满足|a＋b|＝4，|a－b|＝2，则|a||b|的最大值是(　　) A．3 　　 B．4 C．5 　　　 D．6 4．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝_____. 题型(三)　向量的夹角与垂直 [例3]　(1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_____． 听课记录： [变式拓展] 将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． |思|维|建|模| 1．求向量夹角的方法 (1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解． (2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解． (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角． 2．求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0，π]．当cos θ＞0时，θ∈；当cos θ＜0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝.　　 [针对训练] 5．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，则k的最小值为_____． 6．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b夹角的大小． 第2课时　平面向量数量积的应用 [题型(一)] (1)b·a　(2)a·(λb)　(3)a·c＋b·c [例1]　选B　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝||2－||2＝4－1＝3，故选B. [针对训练] 1．选B　根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·＝(＋)·＝·＋·，由AD⊥AB，可知·＝0，又因为＝ ，||＝2，所以·＝·＝||·||·cos∠ADB＝×2×||×＝4.故选B. 2．解析：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0 a·b＋b·c＋c·a＝－. 答案：－ [题型(二)] [例2]　解：因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10.所以4a2＋4a·b＋b2＝10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10. 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)． [针对训练] 3．选C　∵|a＋b|＝4，|a－b|＝2，∴|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝20.∴|a|2＋|b|2＝10.∵(a－b)2≥0，∴|a|2＋|b|2≥2|a||b|.∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5，故选C. 4．解析：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－ ... ...