2.1.2 等差数列的性质及应用(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 了解数列的等差中项,能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;并能运用等差数列的性质简化计算,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 1.等差数列的增减性 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d), (1)当d>0时,数列{an}为 数列; (2)当d<0时,数列{an}为 数列; (3)当d=0时,数列{an}为 数列. 2.等差中项 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,且A= .在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 3.等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an=a1+(n-1)d (揭示首末两项的关系) an=am+(n-m)d (揭示任意两项之间的关系) (2)项的运算性质 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an= . ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an= . ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1 =…=ak+an-k+1=…. 4.等差数列的性质 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列 {c·an} 公差为cd的等差数列 {an+an-k} 公差为2d的等差数列 {pan+qbn} 公差为pd1+qd2的等差数列 [基点训练] 1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a4等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.等差数列{an}中,a3=7,a7=-5,则公差d= ( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 3.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是 ( ) A.公差为-1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为-20的等差数列 D.公差为19的等差数列 4.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{an+2an+2}是公差为 的等差数列. 题型(一) 等差中项及应用 [例1] (1)已知2a=3b=m,ab≠0,且a,ab,b成等差数列,则m等于 ( ) A. B. C. D.6 (2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 听课记录: [思维建模] 等差中项的计算 (1)条件:若A是a与b的等差中项. (2)计算公式:A=. [针对训练] 1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项为 ( ) A.8 B.6 C.4.5 D.3 2.已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列. 题型(二) 等差数列的性质及应用 [例2] (1)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15等于 ( ) A.7 B.14 C.21 D.7(n-1) (2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75. 听课记录: [变式拓展] 在等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,求a10. [思维建模] (1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量. ②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar. [针对训练] 3.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 ( ) A.84 B.72 C.60 D.48 4.[多选]已知单调递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( ) A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 题型(三) 等差数列的实际应用 [例3] 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费 听课记录: [变式拓展] 在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往 18.5 km(不足1 km,按1 km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费 [思维建模] (1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这 ... ...
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