2.1 导数的概念(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解导数概念的实际背景,掌握导数的概念. 2.会利用导数的概念求函数在某点处的导数. 1.导数的定义 设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为==. 当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的 . 在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的 ,通常用符号f'(x0)表示,f'(x0)还可以写成 . 2.记法 f'(x0)== . [微点助解] (1)函数应在x0的附近有定义,否则导数不存在. (2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关. (3)导数的实质是一个极限值. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f'(x0)表示f(x)在x=x0处的瞬时变化率. ( ) (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. ( ) (3)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,当Δx趋近于0时,x趋近于x0,所以f'(x0)==. ( ) 2.若f(x)=,则f'(1)等于 ( ) A.1 B.-1 C. D.- 3.[多选]下列各式正确的是 ( ) A.f'(x0)= B.f'(x0)= C.f'(x0)= D.f'(x0)= 题型(一) 导数的概念 [例1] 设f(x)在x0处可导,则等于 ( ) A.-4f'(x0) B.f'(x0) C.f'(x0) D.4f'(x0) 听课记录: [思维建模] 利用导数定义解题时,应充分体会导数定义的实质,虽然表达式不同,但表达的实质可能相同. [针对训练] 1.设函数f(x)在x=x0处可导,以下有关的值的说法正确的是 ( ) A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0,h均无关 2.若f'(x0)=-2,则= ( ) A.-12 B.-9 C.-6 D.-3 题型(二) 求函数在某点处的导数 [例2] 根据导数的定义,求下列函数的导数. (1)求函数y=x2+3在x=1处的导数; (2)求函数y=在x=2处的导数. 听课记录: [思维建模] 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率=; (3)取极限,得导数f'(x0)= . [针对训练] 3.已知y=f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于 ( ) A.-4 B.2 C.-2 D.±2 4.求函数y=x-在x=1处的导数. 题型(三) 导数在实际问题中的意义 [例3] 某机械厂生产一种木材旋切机,已知总利润c(单位:元)与产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600. (1)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均变化率; (2)求c'(1 000)与c'(1 500),并说明它们的实际意义. 听课记录: [思维建模] 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想,瞬时变化率就是平均变化率的极限. (2)函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况. [针对训练] 5.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时,原油的温度(单位:℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的实际意义. 导数的概念 课前环节 1.固定的值 瞬时变化率 导数 y' 2. [基点训练] 1.(1)√ (2)√ (3)√ 2.选B ∵==, ∴f'(1)===-1. 3.选AD = =f'(x0),故D正确.易知A正确. 课堂环节 [题型(一)] [例1] 选D = 4=4f'(x0),故选D. [针对训练] 1.选B 导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x0及其附近的函数值有关,与h无关. 2.选C 因为f'(x0)=-2, 所以 =3· =3 =3f'(x0)=-6. [题型(二)] [例2] 解:(1)因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2, 所以==2+Δx. 所以f'(1)==(2+Δx)=2. (2)因为Δy=-, 所以===. 所以f'(2)===. [针对训练] 3.选D 因为===, 所以f'(m)==-. 所以-=-,m2=4,解得m=±2. 4.解:∵Δy=(1+Δx)--=Δx+,∴= ... ...
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