6.1.1 函数的单调性与其导数(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性. 2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系: (1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数 ,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增; (2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数 ,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减. 2.若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x) ;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x) . [微点助解] (1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).也就是说,在某区间上f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件. (2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题 ①定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. ②注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点. ③单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数. ( ) (2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定有f'(x)>0. ( ) (3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. ( ) 2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 3.函数y=f(x)的图象如图所示,则 ( ) A.f'(3)>0 B.f'(3)<0 C.f'(3)=0 D.f'(3)的正负不确定 题型(一) 利用导数的正负判断函数的单调性 [例1] 判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x2-ln x; (2)f(x)=; (3)f(x)=x3+. 听课记录: [思维建模] 利用导数判断或证明函数单调性的思路 [针对训练] 1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 2.求证:f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增. 题型(二) 利用导数求函数的单调区间 [例2] 确定下列函数的单调区间. (1)y=x3-9x2+24x; (2)f(x)=(x>0且x≠1). 听课记录: [思维建模] 求函数y=f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数y'=f'(x). (3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. [针对训练] 3.求函数f(x)=x+(b>0)的单调区间. 题型(三) 导数与函数图象的关系 [例3] 画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象. 听课记录: [思维建模] 由导函数图象画原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增,f'(x)<0,则f(x)单调递减. 由原函数图象画导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0. [针对训练] 4.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的 ( ) 5.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为 ( ) 函数的单调性与其导数 课前环节 1.(1)f'(x)>0 (2)f'(x)<0 2.单调递增 单调递减 [基点训练] 1.(1)√ (2)× (3)√ 2.选D ∵f(x)=(x-3)ex,∴f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,由f'(x)>0得x>2,故选D. 3.选B 由题图可知,函数f(x)在(1,5)内单调递减,则在(1,5)内有f'(x)<0,故f'(3)<0. 课堂环节 [题型(一)] [例1] 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞) ... ...
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