6.2 函数的极值(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系. 1.函数极值的概念 (1)极大值:在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在 处的函数值都 点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)极小值:在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在 处的函数值都 点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值. (3)极值点和极值:函数的极大值点与极小值点统称为 ,极大值与极小值统称为 . 2.函数的单调性与极值 (1)若函数y=f(x)在区间(a,x0)上 ,在区间(x0,b)上 ,则x0是极大值点,f(x0)是极大值. (2)若函数y=f(x)在区间(a,x0)上 ,在区间(x0,b)上 ,则x0是极小值点,f(x0)是极小值. 3.求函数极值点的步骤 (1)求出导数 . (2)解方程 . (3)对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定 : ①若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”,则x0为 ; ②若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”,则x0为 ; ③若f'(x)在x0附近的符号相同,则x0 极值点. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ( ) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. ( ) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ( ) (4)如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不具有单调性. ( ) 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于 . 题型(一) 函数极值的辨析 [例1] [多选]已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则 ( ) A.函数f(x)有极大值f(2) B.函数f(x)有极大值f(-2) C.函数f(x)有极小值f(-2) D.函数f(x)有极小值f(2) 听课记录: [思维建模] 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值. [针对训练] 1.设f(x)=x2+cos x,则函数f(x) ( ) A.有且仅有一个极小值 B.有且仅有一个极大值 C.有无数个极值 D.没有极值 2.[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)在区间(1,3)内单调递减 B.f(1)
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