第01讲 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课程标准 学习目标 ①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法； 知识点01：实数系 （1）实数系的分类 (2)实数的性质 ①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数； ②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律； ③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系. 知识点02：复数的概念 （1）复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立. 所以实数系经过扩充后得到的新数集是. （2）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （3）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 【即学即练1】（2023下·陕西西安·高一阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？ （2）若，且，则实数的值分别为多少？ 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）由已知得， 解得； （2）由已知得， 解得或. 知识点03：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当，即时，复数z是实数． （2）当，即时，复数z是虚数． （3）当且，即时，复数z是纯虚数． 题型01 虚数单位及其性质 【典例1】（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习） . 【答案】0 【详解】， 故答案为：0. 【典例2】（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习） ． 【答案】/ 【详解】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 【变式1】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）已知为虚数单位，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】， 故选：A 【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）原式； （2）原式， . 题型02 复数的基本概念 【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【答案】答案见解析 【详解】4，，0，，，6i的实部分别是4，2，0，，5，0，虚部分别是0，，0，，，6． 4，0是实数； ，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数． 【典例2】（2021·高一课时练习）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】A 【详解】由，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故，即，解得a＝0. 故选：A. 【变式1】（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【详解】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 【变式2】（多选）（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（ ） A．存在x使得小于0 B．存在x使得 C．不是实数 D．实部和虚部均 ... ...
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