第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式 2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算； 3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等； 知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . 【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14） 【答案】102.28 【详解】正方体的表面积为，圆柱的侧面积为， 则挖洞后几何体的表面积为． 故答案为：102.28. （2）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： 【即学即练2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥， 所以表面积为， 故答案为：. （3）圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 【即学即练3】（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为， 由图形可得，， 母线与下底面所成的角为，故， 故圆台的母线长为2，所以侧面积为， 所以该圆台的表面积为． 故选：C． 知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 【即学即练4】（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为4，高为8的圆锥，用一个平行于底面的平面去截该圆锥得到高相等的两个几何体，则截得圆台的体积为 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知，圆台的上底面恰好是过圆锥的高的中点的截面， 故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则圆台的体积为， 故答案为： 知识点03：球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【即学即练5】（2024上·上海·高二统考期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 . 【答案】/ 【详解】依题意，球的半径，所以球的体积. 故答案为： 题型01圆柱的表面积与体积 【典例1】（2024上·全国·高三期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意作图如下： 由题设可知该圆锥的高．设在该圆锥中内接一个高为的圆 ... ...
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