4.3 诱导公式与对称 (教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.通过单位圆的对称性掌握角α与-α的正弦函数、余弦函数关系. 2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系. 3.能用诱导公式把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的 化简、求值问题. 1.sin α,cos α与sin(-α),cos(-α)的关系 终边关系 图示 点P与P' 关于x轴对称 公式 sin(-α)= ,cos(-α)= 性质 正弦函数v=sin α是 ,余弦函数u=cos α是 2.sin α,cos α与sin(α±π),cos(α±π)的关系 终边关系 图示 点P与P' 关于原点对称 公式 sin(α+π)= ,cos(α+π)= , sin(α-π)= ,cos(α-π)= 3.sin α,cos α与sin(π-α),cos(π-α)的关系 终边关系 图示 点P与P' 关于y轴对称 公式 sin(π-α)= ,cos(π-α)= |微|点|助|解| (1)诱导公式中α可以是任意角. (2)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示. (3)公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”. “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名; “符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号,如sin(α+π),若把α看成锐角,则α+π在第三象限,所以取负值,故sin(α+π)=-sin α. 基础落实训练 1.化简:cos(3π-α)= ( ) A.cos α B.-cos α C.sin α D.-sin α 2.计算:sin 210°= ( ) A. B.- C. D.- 3.角与角的终边关于 对称. 题型(一) 对称的理解 [例1] 画出下列各角的终边与单位圆的交点,并说出它们的对称关系. (1),;(2),-;(3)-,;(4)-,. 听课记录: |思|维|建|模| 判断两角终边位置关系的步骤 建系 画单位圆,以原点为圆心作出单位圆 找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小 判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系 [针对训练] 1.角α的终边与单位圆的交点坐标为,试写出角π-α,α+π,-α,α-π的终边与单位圆交点的坐标. 题型(二) 给角求值 [例2] 计算下列各式的值. (1)sin 750°. (2)sin-cos. (3)cos+cos+cos+cos+cos+cos. 听课记录: |思|维|建|模| 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 [针对训练] 2.计算下列各式的值. (1)cos(-660°)+sin 390°; (2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°; (3)sin+cos+cos. 题型(三) 条件求值 [例3] 已知cos=,求下列各式的值.(1)cos;(2)cos. 听课记录: [变式拓展] 若本例的条件不变,求cos-sin2的值. |思|维|建|模| 解决条件求值问题的两个技巧 [提醒] 设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键. [针对训练] 3.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于 ( ) A. B.± C. D.- 4.已知sin(π-x)=,则(n∈Z)= . 4.3 诱导公式与对称 课前预知教材 1.-sin α cos α 奇函数 偶函数 2.-sin α -cos α -sin α -cos α 3.sin α -cos α [基础落实训练] 1.B 2.D 3.原点 课堂题点研究 [题型(一)] [例1] 解:如图: (1)如图①,角与的终边与单位圆的交点关于y轴对称. (2)如图②,角与-的终边与单位圆的交点关于x轴对称. (3)如图③,角-与的终边与单位圆的交点重合. (4)如图④,角-与的终边与单位圆的交点关于原点对称. [针对训练] 1.解:由角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,得角π-α的终边与单位圆的交点坐标为; 由角α与α+π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α+π的终边与单位圆的交点坐标为; 由角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,得角-α的终边与单位圆的交点坐标为; 由角α与α-π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α-π的终边与单位圆的交点坐标为. [题型 ... ...
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