4.2 平面向量及运算的坐标表示(教学方式:基本概念课———逐点理清式教学) [课时目标] 1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算,能用坐标表示平面向量的共线条件. 逐点清(一) 平面向量的坐标表示 [多维理解] 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i,j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使 .因此,a=x i+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为 . |微|点|助|解| (1)由平面向量的坐标表示的定义可知,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在平面直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b等价于它们对应的横、纵坐标分别相等,即a=b x1=x2且y1=y2.相等向量的坐标一定相同,但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同. (3)只有当a=x i+yj,i,j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量时,才能说向量a的坐标为(x,y). (4)几个特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若O为坐标原点,且=(2,-1),则点A的坐标为(2,-1). ( ) (2)若点A的坐标为(2,-1),则以A为终点的向量的坐标为(2,-1). ( ) (3)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的. ( ) 2.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为 ( ) A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2) C.(4,3) D.(4,-3) 3.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则= ( ) A.(-5,13) B.(-5,12) C.(-12,13) D.(-12,5) 4.如图,向量a,b,c的坐标分别是 , , . 5.已知=(2-x)i+(1-x)j,且的坐标所表示的点在第四象限,则x的取值范围是 . 逐点清(二) 平面向量运算的坐标表示 [多维理解] 1.平面向量运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+ b= 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量 若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a- b= 数乘 向量 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的 若a=(x,y),λ∈R,则λa= 重要 结论 一个向量的坐标等于其 减去 已知向量的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则= 2.中点坐标公式 若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则 . |微|点|助|解| (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. [微点练明] 1.已知M(2,3),N(3,1),则的坐标是 ( ) A.(2,-1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(1,-2) 2.(多选)已知a=(1,3),b=(-2,1),下列计算正确的是 ( ) A.a+b=(-1,4) B.a-b=(3,2) C.b-a=(1,2) D.-a-b=(1,2) 3.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),若c=xa+yb,则2x+y= ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 4.设A(5,-4),B(3,-6),则线段AB 的中点坐标为 ( ) A.(4,-5) B.(4,5) C.(-4,-5) D.(-5,4) 5.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,则的坐标为 . 逐点清(三) 向量平行的坐标表示 [多维理解] 1.向量共线的充要条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),当b≠0时,则向量a,b共线的充要条件是 . 2.两个向量共线的几种不同的表示方法 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0. (1)a∥b a=λb(λ∈R).这是几何运算,体现了向量a与向量b ... ...
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