3.2 半角公式(教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.能用二倍角公式推导半角公式,了解半角公式的结构形式. 2.能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题. 正弦、余弦、正切的半角公式 三角 函数 公式 正弦 sin= 余弦 cos= 正切 tan=± = = |微|点|助|解| 关于半角公式的几点说明 (1)理解半角的含义:角是角α的半角,角α是角2α的半角,角2α是角4α的半角. (2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法 ①若给出的角已确定其终边所在的象限,则可根据下表确定符号. α sin cos tan 第一象限 第一、三象限 +、- +、- + 第二象限 第一、三象限 +、- +、- + 第三象限 第二、四象限 +、- -、+ - 第四象限 第二、四象限 +、- -、+ - ②若给出角α的范围(即某一区间),可先求出的范围,然后再根据的范围确定符号. ③若给出的角的象限不确定,则需分类讨论. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)sin 15°=± . ( ) (2)cos 15°=. ( ) (3)tan=. ( ) 2.已知180°<α<360°,则cos的值为 ( ) A.- C.- 3.tan 15°等于 ( ) A.2+ B.2- C.+1 D.-1 题型(一) 利用半角公式求值 [例1] 已知cos α=,α为第四象限角,求sin,cos,tan. 听课记录: |思|维|建|模| 利用半角公式求值的思路 (1)观察角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算. (4)下结论:结合(2)求值. [针对训练] 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin = ( ) A. C. 2.已知α为锐角,cos α=,则tan= ( ) A. C.2 D.3 题型(二) 三角函数式的化简 [例2] 化简: (-π<α<0). 听课记录: |思|维|建|模| 探究三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. [针对训练] 3.设α∈,化简:. 题型(三) 三角恒等式的证明 [例3] 求证: +=. 听课记录: |思|维|建|模| 三角恒等式证明的5种常用方法 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同 比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1” 分析法 从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立 [针对训练] 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=,求证:=. 3.2 半角公式 课前预知教材 ± ± [基础落实训练] 1.(1)× (2)× (3)× 2.C 3.B 课堂题点研究 [题型(一)] [例1] 解:∵α为第四象限角,∴为第二、四象限角. 当为第二象限角时, sin==, cos=-=-, tan=-=-; 当为第四象限角时, sin=-=-, cos==, tan=-=-. [针对训练] 1.选D 因为α为锐角,所以sin>0, sin==. 2.选D ∵α为锐角,cos α=, ∴sin α=. ∴tan===. ∴tan===3. [题型(二)] [例2] 解:原式= = ==. 因为-π<α<0,所以-<<0. 所以sin<0. 所以原式==cos α. [针对训练] 3.解:∵α∈,∈, ∴cos α>0,cos<0. 故原式= == ==-co ... ...
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