1.2 复数的几何意义(教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念,并会计算复数的模、共轭复数. 1.复平面 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为 ,y轴称为 .显然,实轴上的点都表示实数;除了 外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点 . (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量 . |微|点|助|解| 1.理解复数与复平面内的点一一对应的注意点 (1)复数的实质是有序实数对. (2)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i. (3)当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数. (4)复数z=a+bi中的z,书写时应小写;复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时应大写. 2.如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点,则 (1)当a>0,b>0时,点Z位于第一象限; 当a<0,b>0时,点Z位于第二象限; 当a<0,b<0时,点Z位于第三象限; 当a>0,b<0时,点Z位于第四象限. (2)当a=0时,点Z在虚轴上; 当b=0时,点Z在实轴上. 3.复数的模 向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|= . 复数模的几何意义:|z|=||,即点Z(a,b)到原点O的距离. 4.共轭复数 (1)定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为 ,则称这两个复数互为共轭复数. (2)表示:复数z的共轭复数用表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,= . (3)常用结论:|z|=||;z=a+bi(a,b∈R)的虚部b=0 z=. |微|点|助|解| (1)由共轭复数的定义可知,=z,|z|=||. (2)实数的共轭复数是它本身,即z= z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数. (3)若z≠0且z=-,则z为纯虚数,利用这个性质可证明一个复数为纯虚数. 基础落实训练 1.(多选)下列命题正确的是 ( ) A.若z是实数,则z= B.若z=,则z是实数 C.若=-z,则z是纯虚数 D.若z是纯虚数,则=-z 2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 ( ) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1) 3.若复数z=2+i,其中i是虚数单位,则|z|= ( ) A. B.1 C.3 D.2 4.设z=3+2i,则在复平面内对应的点位于第 象限. 题型(一) 复数与复平面内点的关系 [例1] (1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(多选)设复数z满足z=-1-2i,则下列命题正确的是 ( ) A.|z|= B.复数z在复平面内对应的点在第四象限 C.z的共轭复数为-1+2i D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上 听课记录: |思|维|建|模| 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可建立关于复数的实部与虚部应满足的条件的方程,通过解方程(组)或不等式(组)求解. [针对训练] 1.当实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i在复平面内对应的点位于: (1)x轴正半轴上; (2)y轴负半轴上; (3)第四象限的平分线上. 题型(二) 复数与复平面内向量的对应关系 [例2] 在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (1)求向量,,对应的复数; (2)判断△ABC的形状. 听课记录: |思|维|建|模| 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转 ... ...
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