2.2 复数的乘法与除法(教学方式:基本概念课———逐点理清式教学) [课时目标] 掌握复数代数形式的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 逐点清(一) 复数的乘法 [多维理解] 1.复数乘法的定义 对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R),类比多项式乘法,并利用i2=-1,定义复数的乘法如下:(a+bi)(c+di)= . 2.乘法的运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1·z2= 结合律 (z1·z2)·z3= 乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)= 3.乘方的运算性质 zm·zn= ,(zm)n= ,(z1·z2)n= (其中m,n∈N+). 4.虚数单位i的幂的周期性 i4n= ,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3= (其中n∈N). 5.常用公式 (1)(a±bi)2=a2±2abi-b2 (a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). 6.共轭复数的性质 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数) .即若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2=||2=a2+b2. [微点练明] 1.计算:(1-i)2-(2-3i)(2+3i)= ( ) A.2-13i B.13+2i C.13-13i D.-13-2i 2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 4.(1+i)20-(1-i)20的值是 ( ) A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512 5.已知复数z满足|z|=,且(1-2i)z是实数,则= . 逐点清(二) 复数的除法 [多维理解] 1.复数的倒数 给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z=1,则称z是z2的倒数,记作z= . 2.复数的除法 对任意的复数 z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复数的除法:=z1·,即= . |微|点|助|解| (1)复数的除法与根式的除法类似:根式的除法是分子、分母都乘以分母的“有理化因式”.从而使分母“有理化”;复数的除法是分子、分母都乘以分母的共轭复数,从而使分母“实数化”. (2)复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的,因此,定义本身提供了求两个复数的商的另外一种方法———待定系数法,即设(a+bi)÷(c+di)=x+yi,则a+bi=(c+di)(x+yi),由此依据复数相等的充要条件求出x,y即可. (3)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i;④=(z2≠0);⑤=(≠0). [微点练明] 1.= ( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z= ( ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-= ( ) A.-i B.i C.0 D.1 4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则 ( ) A.a-5b=0 B.3a-5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0 5.已知i是虚数单位,则复数(1-i)2--4i2 025= . 逐点清(三) 复数范围内方程根问题 [典例] (1)若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)在复数范围内方程x2-2x+5=0的两根为α,β,则|α|+|β|等于 ( ) A.2 B.2 C. D.5 听课记录: |思|维|建|模| 在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法: (1)求根公式法 ①当Δ≥0时,x=. ②当Δ<0时,x=. (2)利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解. [针对训练] 1.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为 . 2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是否是方程的根. 2.2 复数的乘法与除法 [逐点清(一)] [多维理解] 1.(ac-bd)+(ad+bc)i 2.z2·z1 z1·(z2·z3) z1·z2+z1·z3 3.zm+n zmn · 4.1 -i 6.模的平方 [ ... ...
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