14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数 (教学方式:基本概念课———逐点理清式教学) [课时目标] 1.会求样本数据的众数、中位数、平均数. 2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势. 逐点清(一) 众数、中位数和平均数 [多维理解] 1.平均数 (1)总体均值:一般地,我们把总体中所有数据的 称为总体的均值,又称总体平均数.它通常可以代表总体的水平. (2)平均数: 称为这n个数据a1,a2,…,an的平均数,一般记为= . (3)性质:一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其平均数为 . 2.众数 一般地,我们将一组数据中出现 的那个数据叫作该组数据的众数. 3.中位数 一般地,将一组数据按照从小到大的顺序排成一列,如果数据的个数为奇数,那么排在 的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么,排在正中间的两个数据的 即为这组数据的中位数. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. ( ) (2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据. ( ) (3)若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变. ( ) 2.一组样本数据为19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和中位数分别为 ( ) A.14,14 B.12,14 C.14,15.5 D.12,15.5 3.(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个,命中个数如下所示: 甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26 乙:14,9,13,18,19,20,23,21,21,11 则下面结论正确的是 ( ) A.甲的极差是29 B.乙的众数是21 C.甲的平均数为21.4 D.甲的中位数是24 4.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表: 亩产量 [900, 950) [950, 1 000) [1 000, 1 050) [1 050, 1 100) [1 100, 1 150) [1 150, 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是 ( ) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 逐点清(二) 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 [多维理解] 1.单峰频率分布直方图中的平均数与中位数 (1)如果直方图的形状是对称的,那么平均数和中位数应该大体上差不多. (2)如果直方图在右边“拖尾”,那么平均数大于中位数. (3)如果直方图在左边“拖尾”,那么平均数小于中位数,也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边. 2.频率分布直方图中众数、中位数、平均数的计算 在频率分布直方图中,众数是最高矩形底边中点的横坐标,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和. [微点练明] 1.某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则估计该班物理测试的平均成绩是 ( ) A.70分 B.75分 C.68分 D.66分 2.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名,将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息,回答下列问题: (1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数); (2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分. 3.某快递公司招聘快递骑手,该公司提供了两种日工资方案:方案1:规定每日底薪50元,快递骑手每完成一单业务提成3元;方案2:规定每日底薪150元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始, ... ...
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