第2课时 数列的递推公式 [教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法(累加法、累乘法). 题型(一) 数列的递推公式及应用 1.递推公式的定义 一般地,如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的 .递推公式也是给定数列的一种方法. 2.递推公式的特点 (1)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可. (2)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化. (3)与所有数列不一定有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式. [例1] 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. 听课记录: |思|维|建|模| 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可; (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1; (3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=. [针对训练] 1.在数列{an}中,a1=3,且an+1=,则a2 025= ( ) A.3 B.-2 C.- D. 2.试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项: (1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*; (2)a1=2,an+1=2-,其中n∈N*. 题型(二) 由递推公式求数列的通项公式 [例2] (1)在数列{an}中,a1=1,=an+-,则an等于 ( ) A. B. C. D. (2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an,则{an}的通项公式为 . 听课记录: |思|维|建|模| 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法:递推公式对应的有以下几类: ①-an=常数或-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法. ②=pan(p为非零常数)或=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法. ③=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决. [针对训练] 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an= . 4.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前4项,猜想an,并加以证明. 第2课时 数列的递推公式 [题型(一)] 1．它的前一项an－1 递推公式 [例1] 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5， a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. [针对训练] 1．选A 数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝，则a1＝3，a2＝－2，a3＝－，a4＝，a5＝3，…，所以an＋4＝an，即数列{an}是以4为周期的数列，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝3. 2．解：(1)因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16.因此数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16.(2)因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以a2＝2－＝2－＝，a3＝2－＝2－＝，a4＝2－＝2－＝，a5＝2－＝2－＝.因此数列{an}的前5项依次为2，，，，. [题型(二)] [例2] (1)选B 数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝. (2)解析：已知an＋1＝an，将n换为n－1 ... ...
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