6.1.2 空间向量的数量积(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.掌握向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量的数量积求空间两点间的距离. 1.空间两个向量的夹角 (1)夹角 定义 a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作 图示 表示 范围 (2)空间两个向量的关系 ①如果
=0,那么向量a与b ; ②如果=π,那么向量a与b ; ③如果=,那么称a与b ,并记作 . 2.空间向量数量积的定义 定义 设a,b是空间两个非零向量,我们把数量 叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b= 规定 零向量与任一向量的数量积为 3.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b= 结合律 (λa)·b= (λ∈R) 分配律 (a+b)·c= 4.向量在向量上的投影向量 (1)定义:对于空间任意两个非零向量a,b,设向量=a,=b,如图,过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为 , 称为向量a在向量b上的投影向量. (2)几何意义:向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积,即a·b= . 5.向量在平面上的投影向量 (1)定义:设向量m=,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为 , 称为向量m在平面α上的投影向量. (2)几何意义:空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积,即m·n= . [基点训练] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角. ( ) (2)若a·b=0,则a=0或b=0. ( ) (3)对于非零向量a,b,与<-a,-b>相等. ( ) (4)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( ) (5)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件. ( ) 2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,则在AC上的投影向量的模为 ;在平面ABCD内的投影向量的模为 . 3.若a,b,c是空间中两两夹角为的单位向量,=2a-2b,=b-c,则·= . 题型(一) 空间向量数量积的计算 [例1] 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1)·; (2)·; (3)·; (4)·. 听课记录: [思维建模] 1.空间向量数量积的运算方法 已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积; (3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模; (4)代入公式a·b=|a||b|cos求解. [针对训练] 1.已知空间向量|a|=,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为 ( ) A.-b B.b C.b D.-b 2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)= ,a·(a+b+c)= , (a+b)·(b+c)= . 题型(二) 利用数量积求模与夹角 [例2] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,CA=CB=1,棱AA1=2,求cos<,>的值. 听课记录: [变式拓展] 1.本例中条件不变,求N为AA1的中点时,与夹角的余弦值. 2.本例变为:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求BD1的长. [思维建模] (1)求两个非零向量的夹角可以 ... ... 