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课件网) 第二十二章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象 y=ax2 y=a(x-h)2 y=ax2+k y=ax2 K>0 K<0 上移 下移 左加 右减 说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 顶点x轴上 顶点y轴上 问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？ 探究一 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 解：先列表； 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 探究一 1 2 3 4 5 x －1 －2 －3 －4 －5 －6 －7 －8 －9 1 y O －1 －2 －3 －4 －5 －10 直线x＝－1 描点，连线得 的函数图象． 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：_____ _____ _____. 向下 直线 x = -1 ( 1， 1) 当 x＜-1 时， y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 总结 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 y＝a(x－h)2＋k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝h 直线x＝h 顶点坐标 (h，k) (h，k) 最值 当x＝h时，y最小值＝k 当x＝h时，y最大值＝k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 典例精析 例1 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. 典例精析 (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． ∴ y1＜y2. 解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象，思考这三条抛物线有什么关系？ 形状相同， 开口方向相同. 顶点不同， 对称轴不同. 抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 ？ 探究二 向左平移1个单位 向下平移1个单位 向左平移1个单位 向下平移1个单位 平移方法1: 平移方法2: 二次函数图像平移 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y o -1 -2 -3 -4 -5 -10 x=－1 (2)抛物线 有什么关系 归纳 一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 向左(右)平移|h|个单位 向上(下)平移|k|个单位 y=ax2 y=a(x－h)2 y=a(x－h)2+k y=ax2 y=a(x－h)2+k 向上(下)平移|k|个单位 y=ax2+k 向左(右)平移|h|个单位 平移方法: y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。 各种形式的二次函数的关系 例题 C(3,0) B(1，3) 例2.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长 A x O y 1 2 3 1 2 3 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴ 0=a(3－1)2＋3 解得: 因此抛物线的解析式为: y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m. 3 4 a=－ y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3) 3 4 － 练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 (1,－2) 向下 向下 (3,7) (2,－6) 向上 直线x=－3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (－3,5) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 1. ... ...
