5.1.4 用样本估计总体 学习目标 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 导语 同学们，你们想拥有一个健康的体魄吗？拥有健康的体魄是我们学习和生活的基础，为了提高大家的体质健康水平，教育部决定，在全国范围内开展“全国亿万青少年学生阳光体育运动”，使大部分学生能做到每天锻炼一小时，我们在座的同学达到目标了吗？我校的同学达到这个标准了吗？ 一、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数(也称为样本均值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大. (2)在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等. 另外，有时候总体的数字特征不可能获得，此时只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征. 2.众数、中位数、平均数 众数 在频率分布直方图中，众数是最高小矩形的中点所对应的数据 中位数 (1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差 (2)表示样本数据所占频率的等分线 平均数 (1)在频率分布直方图中，平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点 注意点： (1)利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个估计，但这个估计是合理的，特别是当样本容量很大时，它们确实反映了总体的信息. (2)一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等.因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题.一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可. 例1 某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖，学校要在甲、乙两名同学中选拔一名同学参加国赛，为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛，现抽取甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试中的综合成绩，并统计如表： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求甲、乙两名同学的平均成绩； (2)从考试发挥的稳定性的角度考虑，你认为选择哪位同学参加国赛更合适？请说明理由. 解 (1)根据题中数据可知， 甲同学的平均成绩 ==85， 乙同学的平均成绩 ==85. (2)由(1)可知==85， 甲同学成绩的方差 =×[(82-85)2+(81-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(84-85)2] =×[(-3)2+(-4)2+(-6)2+(-7)2+102+32+82+(-1)2]=35.5， 乙同学成绩的方差 =×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+(75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90-85)2+(85-85)2] =×[72+102+(-5)2+(-10)2+(-2)2+(-5)2+52+02]=41， 所以<， 因为甲、乙两名同学的平均成绩相同，所以两名同学水平相当. 又因为甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，所以甲同学的成绩更加稳定. 所以选择甲同学参加国赛更合适. 反思感悟 在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值，例如上述数据，我们可以从平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差等角度进行比较. 跟踪训练1 (1)(多选)某工厂有甲、乙两条流 ... ...
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