高中数学人教B版必修第二册 4.2.2 对数运算法则（课件+学案）

4.2.2　对数运算法则 学习目标　1.掌握对数的运算法则，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明. 导语 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用. 一、对数的运算法则 问题1　将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0). 问题2　结合问题1，若==ap-q，又能得到什么结论？ 提示　将指数式=ap-q化为对数式，得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0). 问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R). 知识梳理 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMα=αlogaM. (3)loga=logaM-logaN. 为方便记忆，上述法则可表述为：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数. 注意点： (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N+. 例1　(课本例2)计算下列各式的值： (1)lg 4+lg 25； (2)lg； (3)log2(47×25)； (4)(lg 2)2+lg 20×lg 5. 解　(1)lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2. (2)lg=lg 10=lg 100=. (3)log2(47×25)=log247+log225 =7log24+5log22 =7×2+5×1=19. (4)(lg 2)2+lg 20×lg 5 =(lg 2)2+lg(10×2)×lg =(lg 2)2+(1+lg 2)×(1-lg 2) =(lg 2)2+1-(lg 2)2=1. 例1　计算下列各式的值： (1)log345-log35； (2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； (3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18； (4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 解　(1)原式=log3=log39=log332=2. (2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1. (3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. (4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2 =2+(lg 10)2=2+1=3. 反思感悟　利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用运算法则，对真数进行处理； ②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 跟踪训练1　计算下列各式的值： (1)2log23-log2+log27-； (2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216). 解　(1)原式=log29-log2+log27-2 =log2-2=3-2=1. (2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=. 二、换底公式 问题4　假设=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，∴=log35.如果=x(c>0且c≠1)，等式还成立吗？ 提示　成立，推导如下： 由=x，则logc5=xlogc3，即logc5=logc3x， ∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35， ∴=log35. 问题5　 假设=x，我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？ 提示　将公式进行推广，可得=logab(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)，推导如下：由=x，则logcb=xlogca，即logcb=logcax，∴ax=b，由指数式和对数式的互化可得x=logab， ... ...