第六章 培优课　平面向量中的最值（范围）问题（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

培优课　平面向量中的最值（范围）问题 1.已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，则m的取值范围为（　　） A.[－，] B.[－，] C.[－3，3] D.[－5，5] 2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是（　　） A.［0，］ B.［，］ C.［，π］ D.（，） 3.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是（　　） A.[2，14] B.[0，12] C.[0，6] D.[2，8] 4.（2024·宁波质检）设0≤θ＜2π，已知两个向量＝（cos θ，sin θ），＝（2＋sin θ，2－cos θ），则向量的长度的最大值是（　　） A.　　　B. C.3　　　D.2 5.设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是（　　） A.≤λ≤1 B.1－≤λ≤1 C.≤λ≤1＋ D.1－≤λ≤1＋ 6.（多选）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是（　　） A.当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B.λμ的最大值为 C.μ的取值范围为[0，1] D.λ＋μ的取值范围为［，2］ 7.向量a，b满足｜a｜＝1，a与b的夹角为，则｜a－b｜的最小值为　　　　. 8.（2024·郑州月考）在△ABC中，·（－4）＝0，则cos A的最小值为　　　　. 9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是　　　　. 10.已知·＝0，M是线段BC的中点. （1）若｜｜＝2｜｜，求向量－与向量＋的夹角的余弦值； （2）若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝2｜｜＝2，求·＋·的最小值. 11.如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点（不包括边界），设＝a，＝b. （1）试用a，b表示； （2）若＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围. 12.（2024·福州质检）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋. （1）证明A，B，C三点共线，并求的值； （2）已知A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），x∈（0，π），且函数f（x）＝·＋（ 2m－）｜｜的最小值为，求实数m的值. 培优课　平面向量中的最值（范围）问题 1.B　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－≤m≤，即实数m的取值范围为[－，]，故选B. 2.C　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜a｜｜b｜cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，所以cos θ≤－，所以θ∈［，π］. 3.A　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），E（2，1），设F（x，2）（0≤x≤2），所以＝（2，1），＝（x，2），因此·＝2x＋2，因为0≤x≤2，所以2≤2x＋2≤14，故·的取值范围是[2，14]. 4.C　∵＝－＝（2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ），∴｜｜＝ ＝，∵0≤θ＜2π，∴－1≤cos θ≤1，∴≤≤3，当cos θ＝－1时，｜｜有最大值3. 5.B　∵＝λ＝（－λ，λ），＝（1－λ）＋λ＝（1－λ，λ），·≥·，∴（1－λ，λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1. 6.ABC　以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ）， ... ...