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课件网) 1.事件相互独立的定义 一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的 直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发 生的概率. 2.事件相互独立的性质 (1)如果事件A与B相互独立,则 与B,A与 , 与 也相互独立. (2)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的 积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An).并且此式中任意多个事件Ai换成其对立事件 后 知识 清单破 5.3.5 随机事件的独立性 知识点 随机事件的独立性 等式仍成立. 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.若任意两个事件A,B互斥,则P(A∩B)=P(A)P(B). ( ) 2.如果两个事件相互独立,那么这两个事件一定互斥.( ) 3.掷一枚质地均匀的硬币两次,记A=“既有正面向上,也有反面向上”,B=“最多有一次反面 向下”,则A,B相互独立. ( ) 4.若A,B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则A,B都不发生的概率为0.3. ( ) 易得P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= .因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立. 提示 √ 讲解分析 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. (2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立 性. 疑难 情境破 疑难 1 事件独立性的判断 典例 判断下列各对事件是不是相互独立事件. (1)一袋中装有5个白球、3个黄球,有放回地每次摸出1个球,若A1表示“第一次摸得白球”,A2 表示“第二次摸得白球”,事件A1与 ; (2)容器内装有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,从中先取出1个球,不放回,再取出1个球,事件“从 8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”. 解析 (1)由题意可得 表示“第二次摸得黄球”,由于每次都是有放回地摸球,因此每次摸 球的结果互不影响,故事件A1与 是相互独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,不放回,再取出1个”,画树形图如下: 设“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”为事件A,“从剩下的7个球中任意取出1个,取 出的是白球”为事件B,则P(A)= ,P(B)= = ,P(AB)= = ,因为P(AB)≠P(A)P(B), 所以两者不是相互独立事件. 疑难 2 互斥事件与相互独立事件的概率计算 事件含义 事件表示 概率 A,B互斥 A,B相互独立 A,B中至少有一 个发生 A∪B P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P( )P( ) A,B都发生 AB P(AB) 0 P(A)P(B) A,B都不发生 P( ) 1-[P(A)+P(B)] P( )P( ) A,B中只有一个 发生 A ∪ B P(A ∪ B) P(A)+P(B) P(A)P( )+P( ) P(B) A,B中至多有一 个发生 A ∪ B∪ P(A ∪ B∪ ) 1 1-P(A)P(B) 与相互独立事件有关的概率问题要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发 生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 典例 已知某天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车 之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 解析 分别用事件A,B,C表示这三列火车正点到达,且P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P( )= 0.2,P( )=0.3,P( )=0.1. (1)由题意得A,B,C之间相互独立,所以恰好有两列正点到达的概率P1=P( BC)+P(A C)+P(AB )= P( )P(B)P(C)+P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P( )=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1= 0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率P2=1-P( )=1-P( )P( )P( )=1-0.2×0.3×0.1= 0.994.5.3.5 随机事件的独立性 基础过关练 题组一 相互独立事件的判断 1.袋内装有 ... ...
