4.3.1　第3课时　等比数列的综合应用（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第3课时 等比数列的综合应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 灵活设项求解等比数列 【例1】　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216， 后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：法一　设前三个数分别为 ， a ， aq ， 则 · a · aq ＝216，所以 a3＝216.所以 a ＝6. 因此前三个数为 ，6，6 q .由题意知第4个数为12 q －6. 所以6＋6 q ＋12 q －6＝12，解得 q ＝ . 故所求的四个数为9，6，4，2. 法二　设后三个数为4－ d ，4，4＋ d ， 则第1个数为 （4－ d ）2， 由题意知 （4－ d ）2×（4－ d ）×4＝216， 解得4－ d ＝6. 所以 d ＝－2. 故所求得的四个数为9，6，4，2. 通性通法 巧设等比数列项的方法 （1）若三个数成等比数列，常设为 ， a ， aq .推广到一般，奇数个 数成等比数列，可设为…， ， ， a ， aq ， aq2，…； （2）四个符号相同的数成等比数列，常设为 ， ， aq ， aq3.推广 到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…， ， ， ， aq ， aq3， aq5，…； （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为 a ， aq ， aq2， aq3. 【跟踪训练】 　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差 数列，则这四个数的和是 . 45 解析：设这四个数分别为 a ， aq ， aq2， aq3，则 a －1， aq －1， aq2 －4， aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 题型二 由等比数列衍生的新数列 【例2】　（1）设{ an }是各项为正数的无穷数列， Ai 是边长为 ai ， ai ＋1的矩形面积（ i ＝1，2，…），则{ An }为等比数列的充要条件为 （　D　） A. { an }是等比数列 B. a1， a3，…， a2 n－1，…或 a2， a4，…， a2 n ，…是等比数列 C. a1， a3，…， a2 n－1，…和 a2， a4，…， a2 n ，…均是等比数列 D. a1， a3，…， a2 n－1，…和 a2， a4，…， a2 n ，…均是等比数列，且 公比相同 D 解析：因为 Ai 是边长为 ai ， ai＋1的矩形面积（ i ＝1，2，…），所以 Ai ＝ aiai＋1（ i ＝1，2，3，…， n ，…），则数列{ An }的通项为 An ＝ anan＋1.根据等比数列的定义，数列{ An }（ n ＝1，2，3，…）为等比数列的充要条件是 ＝ ＝ ＝ q （常数）. （2）若等比数列{ an }的公比为 q ，则 a1， a8， a15的公比为 . 解析：由于数列{ an }是公比为 q 的等比数列，因此 a8＝ a1 q7， a15＝ a1 q14，故 ＝ ＝ q7. q7 通性通法 1. 由等比数列衍生的新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否 为0. 2. 如果{ an }，{ bn }均为等比数列，且公比分别为 q1， q2，那么： （1） ak ， ak＋ n ， ak＋2 n ，…为等比数列，公比为 ； （2）数列 ，{ an · bn }，{ }，{｜ an ｜}仍是等比数列，且公比 分别为 ， q1 q2， ，｜ q1｜. 【跟踪训练】 　设{ an }，{ bn }都是等比数列，若 a1 b1＝7， a3 b3＝21，则 a5 b5 ＝ . 解析：因为{ an }，{ bn }为等比数列，所以{ anbn }也为等比数列，设 { anbn }的公比为 q ，又 a1 b1＝7， a3 b3＝21，所以 q2＝ ＝3，即 a5 b5 ＝ a3 b3· q2＝21×3＝63. 63 题型三 等比数列的实际应用 【例3】　（2024·信阳月考）从盛满 a （ a ＞1）升纯酒精的容器里倒 出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此 继续下去，问： （1）第 n 次操作后容器中酒精的浓度是多少？ 解：由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第 n 次操作后容器中酒精的浓度为 an ，则第1次操作后容器中酒精的浓度为 a1＝1－ ，第 n ＋1次操作后容器中酒精的浓度 ... ...