一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，求得运算结果等.在本章中，数学运算主要表现在利用正、余弦定理解三角形上. 培优一 利用正、余弦定理解三角形 【例1】 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 尝试解答 二、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，逻辑推理主要表现在利用正、余弦定理判定三角形的形状上. 培优二 判断三角形的形状 【例2】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形. 尝试解答 三、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中，数学建模主要表现在利用正、余弦定理解决实际问题上. 培优三 正、余弦定理在解决实际问题中的应用 【例3】 如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为 km. （1）求△ABD的面积； （2）求C，D间的距离. 尝试解答 章末复习与总结 【例1】 解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 【例2】 证明：法一 由b－c＝a可得a＝（b－c）， 又∵cos A＝＝，即b2＋c2－a2＝bc， ∴b2＋c2－3（b－c）2＝bc （b－2c）（2b－c）＝0， ∴b＝2c或c＝2b（舍）， ∴a＝c，即a2＋c2＝b2，故△ABC为直角三角形. 法二 ∵b－c＝a， ∴由正弦定理得sin B－sin C＝sin A＝， ∵A＋B＋C＝π，∴sin－sin C＝， 又∵sin－sin C＝cos C＋sin C－sin C＝cos C－sin C＝sin＝， ∴－C＝或－C＝（舍）， ∴C＝，∴B＝π－A－C＝，故△ABC为直角三角形. 【例3】 解：（1）在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°， 所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°， 由＝，得AD＝＝， 则△ABD的面积S＝AB×ADsin∠BAD＝×××＝，即△ABD的面积为 km2. （2）因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°， 所以BC＝AB＝，所以AC＝3. 在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos∠DAC＝5， 即CD＝. 故C，D间的距离为 km. 1 / 2(
课件网) 章末复习与总结 一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学 问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方 向，选择运算方法，求得运算结果等.在本章中，数学运算主要表现 在利用正、余弦定理解三角形上. 培优一 利用正、余弦定理解三角形 【例1】 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边 分别为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab， 可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . （2）若△ABC的面 ... ...
