11.1 拓 视 野　最短路径问题（课件 学案）高中数学人教B版（2019）必修 第四册

(课件网) 拓 视 野　最短路径问题 　　爸爸出差前，留给小华一道题：如图是某地区的交通网，其中小 圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，请你选择一条从A到B的最短 路线. 　　爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆 开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”！ 　　小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他在小树林 中散步，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫 撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那 根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口 里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按 交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”，要求 A，B两地的最短路线，只需把网上相当于A，B两地的网结各自向 外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上. 　　小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样. 爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫做模拟法，它是科学研究 的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开 你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！” 【问题探究】 1. 若把某地区的交通网改为母线长为4 cm，底面半径为1 cm的圆锥， 现有一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周 回到起点，求蚂蚁爬行的最短路程. 提示：圆锥的侧面展开图如图所示，由题意知，底 面圆的直径为2 cm，故底面圆的周长等于2π cm. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为θ， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得2π＝θr，解得θ＝ ， 所以展开图中扇形的圆心角为 ， 根据勾股定理求得最短路线长是 ＝4 （cm）. 2. 如图所示，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为5，4，3，一只蚂蚁由长方体的顶点A'出发，沿长方体表面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程. 提示：第一种情况：将长方体侧面ABCD展开， 使其与平面A'B'BA重合，如图：则最短路程为 A'C＝ ＝ . 第二种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与 平面A'B'BA重合，如图： 则最短路程为A'C＝ ＝3 . 第三种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与平 面A'D'C'B'重合，如图： 则最短路程为A'C＝ ＝4 . 比较以上三种情况可知，蚂蚁爬行的最短路程为 . 【迁移应用】 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B. 求这 条绳长的最小值. 解：沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，连接 B'M，如图所示. 易知，Rt△OPA与Rt△OQB相似， 得 ＝ ＝ . 由AB＝20 cm，解得OA＝20 cm. 因为 的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q 的周长为2π×10＝20π（cm）， 又扇形OBB'的半径OB＝OA＋AB＝20＋20＝40（cm）， 设扇形OBB'的圆心角为n°，则 ＝20π， 解得n＝90，即∠BOB'＝90°，所以OB⊥OB'. 在Rt△B'OM中，B'M2＝402＋302，所以B'M＝50 cm， 即所求绳长的最小值为50 cm. 1. （多选）下列说法正确的有（　　） A. 圆柱的底面是圆面 B. 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C. 圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 解析：　A、B正确；C错误，圆台的任意两条母线的延长线必 相交；D错误，夹在圆柱的两个截面间的几何体与截面位置有关， 不一定是旋转体. 2. 关于圆台，下列说法正确的是 . ①两个底面平行且全等； ②圆台的母线有无数条； ③圆台的母线长大于高； ④两底面圆心的连线是高. 解析：圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确， ②③④正确. ②③④　 3. 一个圆锥的 ... ...