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课件网) 正切函数的图象与性质 知识 清单破 5.4.3 正切函数的性质与图象 5.4 三角函数的图象与性质 知识点 正切函数 y=tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 单调性 在每一个区间 (k∈Z)上都单调递增 奇偶性 奇函数 图象的对称性 对称中心的坐标为 (k∈Z)(没有对称轴) 知识辨析 1.正切函数在其定义域内是增函数吗 2.函数y=|tan x|是不是周期函数 3.观察正切曲线,满足tan x<0的x的范围是什么 tan x>0呢 一语破的 1.不是.正切函数在整个定义域内函数值不随自变量的增大而增大,因此不具备单调性. 2.是周期函数.y=|tan x|与y=tan x的最小正周期相等,都是π. 3.tan x<0时,x∈ ,k∈Z;tan x>0时,x∈ ,k∈Z. 定点 1 正切(型)函数的定义域、奇偶性、周期性、图象的对称性 关键能力 定点破 1.定义域、图象的对称性 对于正切型函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域、图象的对称性问题,解题时一般将 “ωx+φ”视为一个整体. 令ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,求解x即可得f(x)的定义域;令ωx+φ= ,k∈Z,求解x即可得f(x)的图象的 对称中心. 2.奇偶性 y=tan x是奇函数,其图象关于点 ,k∈Z对称.若y=tan(ωx+φ)是奇函数,则φ= (k∈Z). 3.周期性 函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期为T= .常常利用此公式来求与正切函数有关 的函数的周期.解与正切函数有关的三角不等式时,先确定在一个周期 内使不等式成 立的ωx+φ的范围,再根据正切函数的周期性,得出ωx+φ满足的不等式并求解. 典例 设函数f(x)=tan . (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期以及图象的对称中心; (2)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集. 解析 (1)由 - ≠ +kπ(k∈Z),得x≠ +2kπ(k∈Z), 所以f(x)的定义域是 . 因为ω= ,所以最小正周期T= = =2π. 令 - = (k∈Z), 得x=kπ+ (k∈Z),故f(x)图象的对称中心是 ,k∈Z. (2)由-1≤tan ≤ , 得- +kπ≤ - ≤ +kπ(k∈Z), 解得 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤ 的解集是 . 正切(型)函数的单调性 1.正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常数)的单调区间的求法 (1)若ω>0,利用“整体代换”的思想,令kπ- <ωx+φ
f .第2课时 单调性与值域 基础过关练 题组一 正、余弦(型)函数的单调性 1.下列函数中,以为最小正周期且在区间上单调递增的是( ) A. f(x)=sin|x| B. f(x)=cos|x| C. f(x)=|sin 2x| D. f(x)=|cos 2x| 2.若函数f(x)=sin在区间上单调递增,则ω的取值范围是( ) A.(0,1) B. C.(0,1] D.[1,+∞) 3.(易错题)f(x)=的单调递减区间是 . 4.函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是 . 题组二 利用正、余弦函数的单调性比较大小 5.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11°