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课件网) 5.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1 | A(A>0且A≠1)对y=Asin x的图象的影响 一般地,对任意A>0且A≠1,函数y=Asin x的图象可以由y=sin x的图象上每一点的 横坐标不变、纵坐标乘以A得到.y=Asin x的周期仍是2π,值域为[-A,A],最大值和最小值分别为A和-A. 一般地,对任意ω>0且ω≠1,函数y=sin ωx的图象可由y=sin x的图象上每一点 的纵坐标不变、横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 而得到.y=sin ωx的 值域为[-1,1],周期为 . 2 | ω(ω>0且ω≠1)对y=sin ωx的图象的影响 一般地,y=sin(x+φ)(x∈R,常数φ≠0)的图象可以由y=sin x的图象向左(φ>0)或 向右(φ<0)平移|φ|个单位长度得到. 3 | φ(φ≠0)对y=sin(x+φ)的图象的影响 4 | 函数y=sin x的图象与y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ是常数)的图象的关系 简谐振动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0. (1)A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离,称为振幅; (2)周期是T= ,它是做简谐振动的物体往复运动一次所需要的时间; (3)f= = 表示单位时间内往复振动的次数,称为频率; (4)ωx+φ称为相位; (5)x=0时的相位φ称为初相. 5 | 描述简谐振动的物理量 1.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的 是函数y=sin 2x的图象吗 不是.得到的是函数y=sin x的图象. 2.把函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位长度,得到的是函数y=sin 的图 象吗 不是.得到的是函数y=sin =sin 的图象. 3.在y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ是常数)的图象中,相邻的两条对称轴之间的距离是 1个周期吗 不是.是半个周期. 知识辨析 1 三角函数图象的平移与伸缩变换 一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以由函数y=sin x的图象 经过平移变换和伸缩变换得到. 典例 函数y= sin + 的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换 得到 思路点拨 思路一:先平移变换,再伸缩变换;思路二:先伸缩变换,再平移变换. 解析 解法一:把函数y=sin x的图象向左平移 个单位长度,得到函数y= sin 的图象; 把得到的函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到函数y= sin 的图象; 把得到的函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的 (横坐标不变),得到函数y= sin 的图象; 把得到的函数图象向上平移 个单位长度,得到函数y= sin + 的图象. 解法二:把函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到 函数y=sin 2x的图象; 把得到的函数图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象; 把得到的函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的 (横坐标不变),得到函数y= sin 的图象; 把得到的函数图象向上平移 个单位长度,得到函数y= sin + 的图象. 2 利用图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式 由函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象确定解析式的方法 1.逐一定参法 (1)由函数图象上的最高点、最低点来确定A的值. (2)由函数图象与x轴的交点确定T的值,由T= 确定ω的值. (3)确定函数y=Asin(ωx+φ)中φ的值.其方法有两种: ①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)(此时A与ω的值已知), 求得φ的值. ②五点对应法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的点 为突破口. 2.待定系数法 通过将若干特殊点的坐标代入函数解析式,可以求得A,ω,φ的值.这里需要注 意的是,要认清所选择的点属于“五点法”中的哪一个点,并能正确代入函数解 析式. 3.图象变换法 运用逆向思维,先确定函数解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关 的参数的值. 典例 如图是函数y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 的图象的一部分,求此函数的 解析式. 解析 解法一(逐一定参法):由题中图象知A ... ...
