第11章 培优课　三角形中的最值（范围）问题（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

三角形中的最值（范围）问题 题型一 与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题 【例1】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. （1）求A的大小； （2）若a＝6，求b＋c的取值范围. 【母题探究】 　（变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围. 通性通法 　　解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法 （1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）； （2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）. 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B. （1）求cos B的值； （2）若a＋c＝2，求b的取值范围. 题型二 与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题 【例2】　若△ABC的内角A，B，C满足：sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是　　　　. 通性通法 　　解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题的方法 　　求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三角函数式），利用基本不等式求最值（范围）. 【跟踪训练】 　（2024·徐州月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，则A的取值范围是　　　　. 题型三 与三角形的面积有关的最值（范围）问题 【例3】　（2024·南通质检）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝.若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是（　　） A. B. C.3 　D. 通性通法 　　求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性求解. 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. （1）求角A； （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值. 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝60°，b＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（　　） A.（2，）　　　　 B.（2，］ C.（2，＋∞） D.（－∞，2） 2.（2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则cos C的最小值等于（　　） A. B. C. D.－ 3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，则△ABC面积的最大值为　　　　. 培优课　三角形中的最值（范围）问题 【典型例题·精研析】 【例1】　解：（1）由＝及已知，得cos A＝sin A， ∴tan A＝，又A∈（0，π），∴A＝. （2）由a＝6及（1）知＝＝＝4， ∴b＝4sin B，c＝4sin C. ∵A＝，∴B＋C＝π，∴C＝π－B， ∴b＋c＝4sin B＋4sin＝4［sin B＋sin（π－B）］＝12sin. ∵0＜B＜π，∴＜B＋＜π.∴＜sin≤1（当且仅当B＝时，等号成立）， ∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12]. 母题探究 　解：由正弦定理得＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B， 则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（sin A＋sin B）＋＝2［sin A＋sin（－A）］＋ ＝2＋＝2（sin A＋cos A）＋＝2sin＋. ∵0＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin（A＋）≤1， ∴2＜2sin＋≤2＋， ∴△ABC周长的取值范围是（2，2＋]. 跟踪训练 　解：（1）因为cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B， 所以－cos（A＋B）＋cos Acos B＝2sin Acos B， 即sin Asin B＝2sin Acos B， 因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0， 又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝. （2）由a＋c＝2，可得c＝2－a， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝a2＋（2－a）2－a（2－a）＝（a－1）2＋， 因为0＜a＜2，所以≤b2＜4，所以≤b＜2， 所以b的取值范围 ... ...