6.3.3　空间角的计算（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）选择性必修 第二册

6.3.3　空间角的计算 1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞＝，则l与α所成的角为（　　） A. B. C. D. 2.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，2），则二面角C-AB-O的余弦值为（　　） A. B. C. D.－ 3.在空间四边形ABCD中，向量＝（0，2，－1），＝（－1，2，0），＝（0，－2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（　　） A. B. C.－ D.－ 4.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 5.（2024·扬州月考）如图，在底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1.若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，则AA1的长为（　　） A.3 B. C.2 D. 6.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.B1的坐标为（2，2，3） B.＝（0，－2，3） C.平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2） D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为 7.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为　　　　. 8.（2024·宿迁月考）已知四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于　　　　. 9.（2024·镇江月考）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，则直线AB与平面SBC所成角的正弦值为　　　　. 10.如图，在空间直角坐标系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E为C1D1的中点，求二面角B1-A1B-E的余弦值. 11.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 12.（2024·盐城质检）在空间中，已知平面α过A（3，0，0）和B（0，4，0）及z轴上一点P（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面xOy所成的锐二面角为45°，则a＝　　　　. 13.如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为　　　　. 14.（2024·南京月考）如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. （1）证明：AC⊥B1D； （2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 15.（2024·无锡质检）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. （1）设＝λ（0＜λ＜1），异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值； （2）若D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的正弦值. 6.3.3　空间角的计算 1.C　∵＜a，n＞＝，∴l与法向量所在直线所成锐角为，∴l与α所成的角为. 2.C　∵点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的法向量为n＝（2，1，2），∴cos＜n，＞＝＝＝.故选C. 3.A　设n＝（x，y，z）是平面ABC的一个法向量n，则即令y＝1得n＝（2，1，2），∴｜cos＜，n＞｜＝＝，故直线AD与平面ABC所成角的正弦值为.故选A. 4.A　设CA＝CC1＝2CB＝2，则A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0），所以＝（－2，2，1），＝（0，2，－1），从而cos＜，＞＝＝＝，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为. 5.A　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）.设AA1＝t，则A1（1，0，t），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，t），∴＝（0，1，－t），＝（－1，0，t）.∵A1B与AD1所成 ... ...